五年级北师大点阵中的规律|北师大五上《点阵中的规律》教学实录
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教学内容:北师大版小学数学五年级上册第82——83页的内容。一、谈话引入
师:从小我们就学数数、用数字,那么对于数字的发明和发展过程,你们都哪些了解?(学生交流课前搜集的相关信息)
生1:古时候人们用石子来计数,比如打一只兔子就摆一块石子。
生2:还有用绳子打结的,有几个人就打几个结。
生3:我知道我们现在用的数字是印度人发明的,从阿拉伯传到我国的,所以叫阿拉伯数字。
……
师:大家了解的信息真不少!阿拉伯数字的发明,使我们的记录和计算更加方便,但是在表现数字的特征方面,有时候图形会更加直观。今天老师请来了一位图形朋友——点(老师在黑板上画点),看到这个点,你能快速地想到哪个数字?
生齐:1。
师:不要小看了这个小小的点,早在2000多年前,古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究,发现了由许多个这样的点组成的图形中的规律,还给这些图形取了一个好听的名字,叫点阵。同学们想不想过一把当数学家的瘾,自己来寻找这些规律?
生齐:想。
师:今天,我们就一起来探究点阵中隐含的规律。(板书课题:点阵中的规律)
二、探究正方形点阵中的规律
1、探究一组正方形点阵的规律。
师:我们一起来看看数学家们当年研究的点阵图,边看边说出各个点阵的点子数。
(依次出示前四个正方形点阵图,并逐步引导学生想像、猜测:下一个点阵图会是什么样子呢?)
生:第一个是1个点;第二个是4个点;
师:在心里想第三个、第四个点阵图是什么样子。(示图)与你的想像一样吗?
生1:一样。就是9个点。
生2:我知道第四个点阵有16个点,肯定是的。
(随着点阵图的依次出现,学生的思维逐渐活跃,当第三个点阵图出现的时候,学生不用数,已经忍不住地说出了点数。说明学生已经发现了这组正方形点阵中的规律。但这时,教师没有急于让学生发表自己的看法,而是给学生留出了完善自己想法的时间,同时也暗示学生:规律的呈现不能依靠一个或几个图形来归纳,应该有耐心地继续自己的观察活动。)
师:除了能说出各个点阵的点数之外,仔细观察点阵图:你们还有什么其它的发现?
生1:第一个点阵是1个点,其余的都是正方形的。
生2:我发现从第一个图开始点子数分别是加3、加5、加7。
生3:我发现它们的点子数能写成1×1、2×2、3×3、4×4。
师:你们真了不起!这种形状的点阵就是正方形点阵,大家不但用数字表示每个点阵的点数,还能用算式来表示这组点阵的规律。根据刚才发现的规律,想一想:第五个点阵是什么样子呢?自己画出来,并用算式表示点数。
(学生活动:独立画出第五个5×5的点阵图,全班交流。)
师:照这样的规律继续画下去,第9个点阵的点数如何用算式来表示?第100个呢?第n个呢?在小组内交流一下。
生:第九个点阵表示为9×9;
第100个点阵表示为100×100;
第n个点阵就表示为n×n。
(结合发现的规律,引导学生逐步完善自己的想法,建立总结正方形点阵规律的模型。)
师:那么你们觉得每个正方形点阵的点子总数与什么有关系?在小组内讨论交流。
生1:点子总数与正方形点阵每一排的点子数有关系。
生2:就是边长乘边长。
生3:还与是第几个有关系,第一个就是1×1,第二个就是2×2,第三个就是3×3,一直这样数下去。
(学会用简单的语言表述自己的想法,使得初步的形象感知得到提升)1234
师:说得真好!每个正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积,这个数字与点阵的序号有关,与每个正方形点阵每排的点子数也有关系。
2、同一个点阵的不同划分中的规律。
师:刚才我们研究了一组正方形点阵中隐含的规律,那么对于同一个点阵来说,如果划分的方法不同,所呈现的规律也就不同。
请大家仔细观察第五个正方形点阵中点的划分方法,你能发现什么规律?与同桌交流你的想法。
生1:我发现都是用折线分开的。
生2:我发现从短的线开始,每条线内的点分别是1、3、5、7、9。
生3:这个正方形点阵的点数用算式表示就是:1+3+5+7+9=25。
师:大家的发现真不少!那如果把每条线所包围的点子数记下来,如何用算式来表示?
学生汇报:
第一条线: 1 = 1;
第二条线: 1+3 = 4;
第三条线: 1+3+5 = 9;
第四条线: 1+3+5+7 = 16;
第五条线: 1+3+5+7+9 = 25;
师:你们觉得这组算式有什么特点?
生1:一个算式比一个算式多加一个数。
生2:它们的得数正好是刚才那一排点阵的点子数。
生3:都是连续的奇数在相加。
师:是从几开始的连续奇数呢?
生:是从1开始的连续奇数在相加。
师:如果按这样的划分方法划分第六个正方形点阵,它的点数该如何用算式来表示?
生:1+3+5+7+9+11 = 36。
师:刚才我们是把这个5×5的正方形点阵用折线进行了划分,你们还有哪些不同的划分的方法?如何用算式表示?在小组内研究一下。
学生汇报:
生1:我们是用横线划分的,算式是:5+5+5+5+5+5 = 25。
生2:还可以用竖线划分,算式也是:5+5+5+5+5+5 = 25。
生3:这些都可以写成是5×5 = 25。
生4:我们的方法不一样。我们是用斜线划分的,用算式表示就是1+2+3+4+5+4+3+2+1。
师:这种划分方法有新意!仔细观察这个算式,你们发现了什么?
生1:算式里最大的数是5。
生2:这个算式是从1开始加到5再加回到1。
生3:这个算式的两边是对称的,5在中间。
生4:这个点阵的点数是就中间那个数字5乘5的积。
师:照这样的规律类推,第六个正方形点阵的点数如何表示?第9个呢?第n个呢?
生1:第六个点阵的点数是1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1。
生2:第九个点阵的点数是1+2+3+4+5+6+7+8++9+8+7+6+5+4+3+2+1。
生3:第n个点阵的点数是……,我说不完。
师:说不完,我们可以借助什么来表示?
生:用省略号,这样表示:1+2+3+……+n+……+3+2+1。
师:你太聪明了,帮我们解决了一个大难题,谢谢你。
(在这里让学生寻找正方形点阵的不同划分方法,把教材分散处理的关于正方形点阵的不同划分方法集中探究,便于学生思维的延续和拓展,不至于出现思维上的断层。这样设计既符合学生的探究心理和学习习惯,又给学生提供了自主探究的空间,体现了学生学习的自主性,还用另一种方式解读了“练一练”中的第一题。培养了学生从不同的角度去发现问题,总结概括规律的能力。)
三、延伸应用,形成策略
师:除了我们刚才研究的正方形点阵,请大家猜猜看,还会有什么形状的点阵呢?
生1:长方形点阵。
生2:三角形点阵。
生3:圆形点阵。1234
生4:椭圆形点阵。
师:请大家尝试运用前面学会的方法探究长方形点阵规律。在小组内合作研究:如何用算式表示每个长方形点阵的点子数?
(学生分组活动)
学生汇报:
生:这四长方形点阵的可以用算式1×2;2×3;3×4;4×5来表示。
师:根据自己发现的规律,请你独立画出第五个长方形点阵并用算式表示出点数。
(学生独立画图并写出算式,互相交流。)
生:第六个长方形点阵的点子总数用算式表示是5×6。
师:你们觉得自己所写的算式中的数字与图形之间有什么关系?在小组内讨论交流。
生1:乘法算式中的第二个因数总是比第一个因数多1。
生2:第一个算式的后面一个数是第二个算式开头的一个数,有点像词语接龙。
生3:算式中的第一个因数是长方形点阵的竖排点数,第二个因数是长方形点阵的横排点数。
师:这个算式与点阵的排列序号有关吗?
生1:第一个点阵是1×2,第二个点阵是2×3,第三个点阵是3×4,是第几个点阵就是用几去乘。
生2:是用点阵的排列序号去乘比它大1的数。
师:照这样继续写,你能写出第n个长方形点阵的点数吗?
生齐:n×(n+1)。
师:看来对于任何一个点阵,只要我们认真观察研究,总能发现其独特的规律。下面请大家认真观察给出的四个三角形点阵的规律,快速画出第五个三角形点阵并说出点数。
生:(举起自己的点阵图)有15个点。
师:对自己画出的第五个三角形点阵进行划分,你能想到哪些不同的划分方法?分别用算式表示点数。
(学生活动)
全班交流:
生1:我是横着分的,算式是1+2+3+4+5=15。
生2:我是斜着划分的,算式也是1+2+3+4+5=15。
生3:我是竖着划分的,算式跟他们一样,也是1+2+3+4+5=15,就是连续的自然数的和。
生4:我的是用折线划分的,算式可以写为1+5+9=15,就是每次都多4个。
(对于前面的三种划分方法,都在我的预设之内,学生到此,已经很轻松地用语言表述出自己的想法:这样的三角形点阵的点数是从1开始的连续自然数的和。而对于第四种划分方法,是我没有预想到的。有一个孩子却用非常强烈地要求,表达了自己的这种划分方法,并且说出了这个算式依次递加4的规律。我真的很庆幸给了他一个机会,他用如此精彩的回答回报了我,也许课堂教学永远的魅力就在于这预设外的惊喜吧。)
师:同学们真的很了不起!真正具有未来数学家的风范,用自己的聪明才智,发现并总结了各个不同的点阵图中隐藏的规律。那么你们觉得应该从哪些方面来探究点阵的规律呢?
生1:我会仔细看清点阵是什么形状的。
生2:我觉得应该数清每一行的点子数是多少。
生3:我认为还要看清前后两个点阵的变化。
……
(在这里不需要学生说出多么专业的、深奥的数学方法,只是引导学生对自己探究性学习方法的一个总结,尽管语言可能不够简练,总结不够到位,只要学生是用自己的语言在表述自己的想法,就是对学生思维训练层次的一个提升,一种飞越。)
联系生活:
师:点阵的知识在生活中有着广泛的应用,比如北京奥运会开幕式上的“击缶表演”、“太极表演”等,都是把一个人看作了一点,来排列有规律的队形。你还知道什么地方运用了点阵的相关知识?
生1:五子棋。
生2:解放军阅兵式的方队。
生3:节日里摆放的花坛1234
生4:我们参加市八运会排练的团体操。
……
师:看来生活中用到点阵知识的地方还真不少。课后自己也设计一幅美丽的点阵图,下节课我们一起展评。
(在这里,把学生的课堂学习延伸到课外,链接到学生已有的相关生活经验,使得原本陌生的数学知识与学生的日常生活自然对接,体现了数学与生活的密切联系。学生课后的自主设计作业,给了学生极大的创造空间,真正体现数学来源于生活,又应用于生活。)1234
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