【正弦和余弦】正弦和余弦

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教学建议
    1.知识结构:本小节主要学习正弦、余弦的概念,30°、45°、60°角的正弦、余弦值,一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系,以及应用上述知识解决一些简单问题(包括引言中的问题)等.
    2.重点、难点分析
    (1) 正弦、余弦函数的定义是本节的重点,因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义,再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
    (2) 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想,并且用含有几个字母的符号组sina,cosa来表示,学生过去未接触过,所以正弦、余弦的概念是难点.
    3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性,是理解三角函数的核心.
    锐角的正弦、余弦值是这样规定的:当一个锐角确定了,那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个,但它们都是彼此相似的.如上图,当 确定时,包含 的直角三角形有无穷多个,但它们彼此相似:
    ∽ ∽ ∽ ……因此,由于相似三角形的对应边成比例,所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
    这就是说,每当一个锐角确定了,包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了,它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系,我们引入了正(余)弦的说法,创造了sin 和cos这样的符号.
    应当注重:单独写出三角函数的符号 或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义;另一方面,这些符号和角写在一起时(如 ),它表示的就不再是角,而是一个特定的三角形的两条边的比值了(如 ).真正理解并把握这些,才真正把握了这些符号的含义,才能正确地运用它们.
    4. 我们应当学会熟悉任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
    我们不仅应当熟练把握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式,而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如, 如图所示,若 ,则有
    有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中,我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式,如图中,abcd是梯形, ,作 , 我们应正确地写出如下的三角函数关系式:
    很显然,这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
    5.非凡角的正弦、余弦值既轻易导出,也便于记忆,应当熟悉把握它们.
    利用勾股定理,很轻易求出含有 或 角的直角三角形三边的比;如图(1)和图(2)所示.
    根据定义,有
    另一方面,可以想像,当 时,边 与ac重合(即 ),所以
    当 时,边ab与cb重合(即ab=cb),ac的长缩小为0,于是,有
    把以上结果可以集中列出下面的表:
    0
    1
    1
    0
    6.教法建议:
    (1)联系实际,提出问题
    通过修建扬水站时,要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题,第一步把这问题归结于直角三角形中,第二步,再把这个问题归于直角三角形中,已知一个锐角和斜边的长,求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下,用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习爱好,调动学生探索新途径,迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课,应抓住这个具有教育性,富于启发性的有利开端,为引进本章的重要内容:锐角三角函数作了十分必要的预备.12345
    (2) 动手度量、总结规律、给出定义以含 的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量,并引导学生得出规律: ,再进一步对含 的三角板进行度量,在探索同样的内容时,要用到勾股定理,又类似地得到,所有的这种等腰直角三角形中,都会得到 ,这时,应当即给出 的正弦的定义及符号,即 ,再对照图形,分别用a、b、c表示 、 、 的对边,得出 及 , 就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义,应充分利用课本中这种简练的处理手段,使学生建立起锐角三角函数的概念.
    (3)加强数形结合思想的教学
    “解直角三角形”编在几何教材中,突出了它的几何特点,但这只是从知识的系统性方面讲的,使它与几何前后知识可关系更紧密,便于学生理解和把握,并没有改变它形数结合的本质,因此教学中要充分利用这部分教材,帮助学生把握用代数方法解决几何问题的方法,提高在几何问题中注重运用代数知识的能力.
    第一课时
    一、教学目标
    1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
    2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
    3.引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
    二、学法引导
    1.教学方法:引导发现和探索研究相结合,尝试成功教法。
    2.学生学法:在教师的指导下,积极思维,相互讨论,动手感知,探索新知。
    三、重点、难点、疑点及解决办法
    1.重点:使学生知道当锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。
    2.难点:学生很难想到对任意锐角,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实,关键在于教师引导学生比较、分析,得出结论。
    3.疑点:无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。
    4.解决办法:教师引导学生比较、分析、讨论,解决重难点和疑点。
    四、教具预备
    自制投影片,一副三角板
    五、教学步骤
    (一)明确目标
    1.如图,长5米的梯子架在高为3米的墙上,则 、 间距离为多少米?
    2.长5米的梯子以倾斜角 为30°靠在墙上,则 、 间的距离为多少?
    3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上,则 、 间距离为多少?
    4.若长5米的梯子靠在墙上,使 、 间距离为2米,则倾斜角为多少度?
    前两个问题学生很轻易回答,这两个问题的设计主要是引起学生的回忆,并使学生意识到,本章要用到这些知识,但后两个问题的设计却使学生感到迷惑,这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说,起到激起学生的学习爱好的作用,同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解,有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的,解决这类问题,关键在于找到一种新方法,求出一条边或一个未知锐角,只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。12345
    通过四个例子引出课题。
    (二)整体感知
    1.请每一位同学拿出自己的三角板,分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。
    学生很快便会回答结果:无论三角尺大小如何,其比值是一个固定的值,程度较好的学生还会想到,以后在这些非凡直角三角形中,只要知道其中一边长,就可求出其他未知边的长。
    2.请同学画一个含40°角的直角三角形,并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值,学生又兴奋地发现,不论三角形大小如何,所求的比值是固定的,大部分学生可能会想到,当锐角取其他固定值时,其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?
    这样做,在培养学生动手能力的同时,也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知,唤起学生的求知欲,大胆地探索新知。
    (三)教学过程
    1.通过动手实验,学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”,但是怎样证实这个命题呢?学生这时的思维很活跃,对于这个问题,部分学生可能能解决它,因此教师此时应让学生展开讨论,独立完成。
    2.学生经过研究,也许能解决这个问题.若不能解决,教师可适当引导:
    若一组直角三角形有一个锐角相等,可以把其顶点 , , 重合在一起,记作 ,并使直角边 , , ……落在同一条直线上,则斜边 , , ……落在另一条直线上,这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证实:易知, ……,∴ ∽ ∽ ∽……,∴ , ,因此,在这些直角三角形中, 的对边、邻边与斜边的比值,是一个固定值。
    通过引导,使学生自己独立把握了重点,达到知识教学目标,同时培养学生能力,进行了德育渗透。
    而前面导课中动手实验的设计,实际上为突破难点而设计。这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。
    3.练习:教科书p3练习。此题为 作了孕伏,同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。
    (四)总结、扩展
    1.引导学生作知识总结:本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上,通过动手实验、证实,我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
    教师可适当补充:本节课经过同学们自己动手实验,大胆猜测和积极思考,我们发现了一个新的结论,相信大家的逻辑思维能力又有所提高,希望大家发扬这种创新精神,变被动学知识为主动发现问题,培养自己的创新意识。
    2.扩展:当锐角为30°时,它的对边与斜边比值我们知道,今天我们又发现,锐角任意时,它的对边与斜边的比值也是固定的,假如知道这个比值,已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了,看来这个比值很重要,下节课我们就着重研究这个“比值”,有爱好的同学可以提前预习一下,通过这种扩展,不仅对下、余弦概念有了初步印象,同时又激发了学生的爱好。
    六、布置作业
    本节课内容较少,而且是为正、余弦概念打基础的,因此课后应要求学生预习正余弦概念。12345
    七、板书设计
    第二课时
    一、教学目标
    1.使学生初步了解正弦、余弦概念;能够较正确地用 、 表示直角三角形中两边的比;熟记非凡角30°、45°、60°角的正、余弦值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
    2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
    3.渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
    二、学法引导
    1.教学方法:指导发现探索法.
    2.学生学法:自主、合作、探究式学习.
    三、重点、难点、疑点及解决方法
    1.教学重点:使学生了解正弦、余弦概念.
    2.教学难点:用含有几个字母的符号组 、 表示正弦、余弦;正弦、余弦概念.
    3.疑点:锐角的正弦、余弦值的范围.
    4.解决办法:通过旧知创设情境,采用从非凡到一般的方法,引导学生进行探究式学习,从而解决重难点及疑点.
    四、教具预备
    三角板一副
    五、教学步骤
    (一)明确目标
    1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时,它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
    2.明确目标:这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—正弦和余弦.
    (二)整体感知
    当直角三角形有一锐角为30°时,它的对边与斜边的比值为 ,只要知道三角形任一边长,其他两边就可知.
    而上节课我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定,这样只要能求出这个比值,那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
    通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比,学生自然产生想学习的欲望,产生浓厚的学习爱好,同时对以下要研究的内容有了大体印象.
    (三)教学过程
    正弦、余弦的要领是全章知识的基础,对学生今后的学习与工作都十分重要,因此确定它为本课重点,同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想,又用含几个字母的符号组来表示,因此概念也是难点.
    在上节课研究的基础上,引入正、余弦,“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图
    请学生结合图形叙述正弦、余弦定义,以培养学生概括能力及语言表达能力,教师板书:在 中, 为直角,我们把锐角 的对边与余边的比叫做 的正弦,记作 ,锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦,记作 .
    .
    若把 的对边 记作 ,邻边 记作 ,斜边 记作 ,则 , .
    引导学生思考:当 为锐角时, 、 的值会在什么范围内?得结论 , ( 为锐角),这个问题对于较差学生来说有些难度,应给学生充分思考时间,同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
    教材例1的设置是为了巩固正弦概念,通过教师示范,使学生会求正弦,这里不妨增问“ 、 ”,经过反复强化,使全体学生都达到目标,更加突出重点.12345
    例1求出如下图所示的 中的 、 和 、 的值.
    解:(1)∵斜边 ,
    ∴ , .
    , .
    (2) , .
    ,
    ∴ , .
    学生练习教材p6~7中1、2、3题.
    让每个学生画含30°、45°的直角三角形,分别求 、 、 和 、 、 .这一练习既用到以前的知识,又巩固正弦、余弦的概念,经过学习亲自动笔计算后,对非凡角三角函数值印象很深刻.
    , , .
    , , .
    例2求下列各式的值:
    (1) ;(2) .
    解:(1) .
    (2) .
    这了使学生熟练把握非凡角三角函数值,这里还应安排六个小题:
    (1) ;(2) ;
    (3) ;(4) .
    (5)若 ,则锐角 .
    (6)若 ,则锐角 .
    在确定每个学生都牢记非凡角的三角函数值后,引导学生思考,“请大家观察非凡角的正弦和余弦值,猜测一下, 大概在什么范围内, 呢?”这样的引导不仅培养学生的观察力、注重力,而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神,还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小”.
    (四)总结、扩展
    首先请学生作小结,教师适当补充,“主要研究了锐角的正弦、余弦概念,已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值,知道任意锐角a的正、余弦值都在0~1之间,即
    , ( 为锐角).
    还发现 的两锐角 、 , , ,正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小”.
    六、布置作业
    教材p10中2,3.
    预习下一课内容.
    补充:(1)若 ,则锐角 .
    (2)若 ,则锐角 .
    七、板书设计12345

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