切线长定理_切线长定理

【jiaoan.jxxyjl.com--九年级数学教案】

1、教材分析
    (1)知识结构
    (2)重点、难点分析
    重点:切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证实线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据,它属于工具知识,经常应用,因此它是本节的重点.
    难点:与切线长定理有关的证实和计算问题.如120页练习题中第3题,它不仅应用切线长定理,还用到解方程组的知识,是代数与几何的综合题,学生往往不能很好的把知识连贯起来.
    2、教法建议
    本节内容需要一个课时.
    (1)在教学中,组织学生自主观察、猜想、证实,并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结;
    (2)在教学中,以“观察——猜想——证实——剖析——应用——归纳”为主线,开展在教师组织下,以学生为主体,活动式教学.
    教学目标
    1.理解切线长的概念,把握切线长定理;
    2.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,培养数形结合的思想.
    3.通过对定理的猜想和证实,激发学生的学习爱好,调动学生的学习积极性,树立科学的学习态度.
    教学重点:
    切线长定理是教学重点
    教学难点:
    切线长定理的灵活运用是教学难点
    教学过程设计:
    (一)观察、猜想、证实,形成定理
    1、切线长的概念.
    如图,p是⊙o外一点,pa,pb是⊙o的两条切线,我们把线段pa,pb叫做点p到⊙o的切线长.
    引导学生理解:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
    2、观察
    利用电脑变动点p 的位置,观察图形的特征和各量之间的关系.
    3、猜想
    引导学生直观判定,猜想图中pa是否等于pb. pa=pb.
    4、证实猜想,形成定理.
    猜想是否正确。需要证实.
    组织学生分析证实方法.关键是作出辅助线oa,ob,要证实pa=pb.
    想一想:根据图形,你还可以得到什么结论?
    ∠opa=∠opb(如图)等.
    切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
    5、归纳:
    把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
    6、切线长定理的基本图形研究
    如图,pa,pb是⊙o的两条切线,a,b为切点.直线op交⊙o于点d,e,交ap于c
    (1)写出图中所有的垂直关系;
    (2)写出图中所有的全等三角形;
    (3)写出图中所有的相似三角形;
    (4)写出图中所有的等腰三角形.
    说明:对基本图形的深刻研究和熟悉是在学习几何中关键,它是灵活应用知识的基础.123
    (二)应用、归纳、反思
    例1、已知:如图,p为⊙o外一点,pa,pb为⊙o的切线,
    a和b是切点,bc是直径.
    求证:ac∥op.
    分析:从条件想,由p是⊙o外一点,pa、pb为⊙o的切线,a,b是切点可得pa=pb,∠apo=∠bpo,又由条件bc是直径,可得ob=oc,由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线ab.
    从结论想,要证ac∥op,假如连结ab交op于o,转化为证ca⊥ab,op ⊥ab,或从od为△abc的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证,可获得多种证法.
    证法一.如图.连结ab.
    pa,pb分别切⊙o于a,b
    ∴pa=pb∠apo=∠bpo
    ∴ op ⊥ab
    又∵bc为⊙o直径
    ∴ac⊥ab
    ∴ac∥op (学生板书)
    证法二.连结ab,交op于d
    pa,pb分别切⊙o于a、b
    ∴pa=pb∠apo=∠bpo
    ∴ad=bd
    又∵bo=do
    ∴od是△abc的中位线
    ∴ac∥op
    证法三.连结ab,设op与ab弧交于点e
    pa,pb分别切⊙o于a、b
    ∴pa=pb
    ∴ op ⊥ab
    ∴ =
    ∴∠c=∠pob
    ∴ac∥op
    反思:教师引导学生比较以上证法,激发学生的学习爱好,培养学生灵活应用知识的能力.
    例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等.
    (分析和解题略)
    反思:(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质,请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质:对角互补.
    p120练习:
    练习1填空
    如图,已知⊙o的半径为3厘米,po=6厘米,pa,pb分别切⊙o于a,b,则pa=_______,∠apb=________
    练习2已知:在△abc中,bc=14厘米,ac=9厘米,ab=13厘米,它的内切圆分别和bc,ac,ab切于点d,e,f,求af,ad和ce的长.
    分析:设各切线长af,bd和ce分别为x厘米,y厘米,z厘米.后列出关于x , y,z的方程组,解方程组便可求出结果.
    (解略)
    反思:解这个题时,除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外,还要用到解方程组的知识,是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.
    (三)小结
    1、提出问题学生归纳
    (1)这节课学习的具体内容;
    (2)学习用的数学思想方法;
    (3)应注重哪些概念之间的区别?
    2、归纳基本图形的结论
    3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.
    (四)作业
    教材p131习题7.4a组1.(1),2,3,4.b组1题.123
    探究活动
    图中找错
    你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?
    在图2中,p1a为⊙o1和⊙o3的切线、p1b为⊙o1和⊙o2的切线、p2c为⊙o2和⊙o3的切线.
    提示:在图1中,连结pc、pd,则pc、pd都是圆的直径,从圆上一点只能作一条直径,所以此图是一张错图,点o应在圆上.
    在图2中,设p1a=p1b=a,p2b=p2c=b,p3a=p3c=c,则有
    a= p1a= p1p3 p3a= p1p3 c①
    c= p3c= p2p3 p3a= p2p3 b②
    a= p1b= p1p2 p2b= p1p2 b③
    将②代人①式得
    a = p1p3 (p2p3 b)= p1p3 p2p3 b,
    ∴ab= p1p3 p2p3
    由③得ab= p1p2得
    ∴p1p2= p2p3 p1p3
    ∴p1、p 2 、p3应重合,故图2是错误的.123

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