平行线截得比例线段定理的面积证法_平行线截得比例线段定理

【jiaoan.jxxyjl.com--八年级数学教案】

  嵩明县小街镇甸丰小学  李逵

教学目标：1、理解平行线截得比例线段定理；

2、会证明平行线截得比例线段定理；

3、通过对定理的证明，学习几何证明方法和作辅助线的方法；

4、培养逻辑思维能力。

教学重点：1、几何证明中的证法分析；

2、添加辅助线的方法。

教学难点：如何添加有用的辅助线。

教学关键：抓住相似三角形的判定和性质进行教学。

教学方法：学习指导法，即读、思、练、讲。

一、复习铺垫

1、提问：

同学们，你会画相交线吗？

你会画平行线吗？

2、请你自己试一试：

①画一组平行线；

②画一组相交线。

说明：让同学们自己在练习本上画，画得好的同学到黑板上板演。同一小组内的同学可以互相交流。

二、初步感知

请同学们按下面的要求做一做，按照顺序，做完一个再进行下一个。同一小组内的同学可以互相指导、互相交流。

1、画三条平行线（等距不等距均可，但要互相平行）；

2、画两条直线与上面的三条平行线相交；

3、找一找

①三条平行线在两条直线上面截得了哪些线段？（小组内交流，你是怎样找到的）

②哪条线段和哪条线段是对应线段？（小组内交流，你是怎样想的）

4、量一量

三条平行线在两条直线上截得的线段的长度各是多少。（精确到毫米）

5、算一算

①对应线段的比值是多少？

②你是按什么顺序写出比的？

6、观察总结

在算出的比值中，它们的比值相等吗？

请你把比值相等的两个比写成比例。

7、猜想结论

从写出的比例式子，你能猜出什么结论吗？

请把你的结论说一说，然后写出来。

8、验证结论

你的结论正确吗？重新画个图形试一试。

三、探索，寻找理论支持（根据）

1、你能用你学过的知识来证明你得到的结论吗？

2、怎样才能把现在的结论和以前学过的知识联系起来？

3、要不要添加辅助线？怎样画辅助线？

a
 
b
 
c
 
d
 
e
 
f
 
m
 
n
 
4、怎样分析寻找证明的思路和过程？

5、教师整理（板书）

①定理：两条直线被三条平行线截得的对应线段成比例。

已知： 交直线 于 、 、 ，交直线 于 、 、 。

求证： （或者 ）。

②分析：要证明 ，从图形上我们看不出 与 之间有什么联系。如果把线段 平移到图中 的位置，如果把线段 平移到图中 的位置，那么， 就变成了 。在 中，横着看， 、 在 中； 、 在 中。（竖着看行不行？为什么？）。要是能证明 ∽ ，那么，证明 的问题就算是解决了。

现在，我们来考虑怎样证明 ∽ 。我们知道，平行移动（平移）不会改变线段的长度，移动后得到的线段和原来的线段还是平行的。因此，我们可以判断 、 ，从而得到 ，而且， ， 。

③证明：过 作 交 于 、过 作 交 于 ，

∴ （同平行于一直线的两条直线互相平行）

∵

∴ ， （夹在两平行线间的平行线段相等）

（这里也可以用平行四边形来证明）

在 和 中

∵

∴ （两直线平行，同位角相等）

∵

∴ （同上）

∴ ∽ （有两个角对应相等的两个三角形相似）

∴ （相似三角形的对应边成比例）

∵ ， （已证）

∴ （等量代换）

四、实践应用

1、你得到的结论有什么用处？你能举个例子说明吗？

（可以自己“编造”例子，也可以从教材上寻找。只要会说明）

2、你能要这个结论来解决实际问题吗？12

五、知识拓展

1、上面的定理及其证明过程，变成特殊情况它还成立吗？

a
 
e
 
f
 
c
 
d
 
当 点和 点重合时，四边形 变成了 ，如图。

当 点变成 的中点， 点变成 的中点时， 变成了 的中位线，如图。这时，还会有 吗？

事实上， 是 的中位线，便有 ， ， 。此时， ， 。所以， 。

2、当上面的四边形 变成了 时，上面的定理及其证明过程还成立吗？当 点变成 的中点， 点变成 的中点， 变成了 的中位线时，如图，还能得到上面的定理的结论吗？

事实上， ，四边形 就是梯形。 点是 的中点， a
 
b
 
c
 
d
 
e
 
f
 
点是 的中点时， 就是 的中位线。根据梯形的中位线定义， ， ， 。此时， ， 。所以， 。

3、你还能想到别的情况吗？

如果四边形 是平行四边形或者是矩形，上面的结论还成立吗？自己试试看。

六、回顾总结

这一节课我们学到了什么？请自己回顾一下。想好后，我们一起来进行总结。

平行
 
平行线截得比例线段定理
 
分析证明
 
应用举例
 
特殊情形
 

作者简介：李逵，男，44岁，小学高级教师，云南师大数学专业本科毕业，现在甸丰小学任教。单位地址：嵩明县小街镇甸丰小学；邮编：651708；电话：0871-6868052（个人），798XX（单位）；e-mail  lk015@diyifanwen.com

本文来源：https://jiaoan.jxxyjl.com/banianjishuxuejiaoan/1860.html