一次函数|一次函数

【jiaoan.jxxyjl.com--八年级数学教案】

课题：14.2．2  一次函数(一)

课时：57   

教学目标

    （一）教学知识点

    １．掌握一次函数解析式的特点及意义．毛

    ２．知道一次函数与正比例函数关系．

    ３．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律．

    ４．会用简单方法画一次函数图象．

    （二）能力训练要求

    １．通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性．

    ２．进一步提高分析概括、总结归纳能力．

    ３．利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力．

    教学重点

    １．一次函数解析式特点．

    ２．一次函数图象特征与解析式联系规律．

    ３．一次函数图象的画法．

    教学难点

    １．一次函数与正比例函数关系．

    ２．一次函数图象特征与解析式的联系规律．

    教学方法

    合作─探究，总结─归纳．

    教具准备

    多媒体演示．

    教学过程

    ⅰ．提出问题，创设情境

    问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y与x的关系．

    分析：从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6℃，那么海拔增加xkm时，气温从15℃减少6x℃．因此y与x的函数关系式为：

    y=15-6x  （x≥0）

    当然，这个函数也可表示为：

    y=-6x+15  （x≥0）

    当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）．

    这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题．

    ⅱ．导入新课

    我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？

    １．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t（℃）有关，即c的值约是t的7倍与35的差．

２．一种计算成年人标准体重g（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是g的值．

    ３．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）．

    ４．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的值而变化．

       这些问题的函数解析式分别为：

    １．c=7t-35．      ２．g=h-105．

    ３．y=0．01x+22．   ４．y=-5x+50．1234567

    它们的形式与y=-6x+15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和．

       如果我们用b来表示这个常数的话．这些函数形式就可以写成：

                     y=kx+b（k≠0）

    一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linearfunction）．当b=0时，y=kx+b即y=kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．

   练习：

    １．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

    （1）y=-8x．     （2）y= ．

    （3）y=5x2+6．   （3）y=-0．5x-1．

    ２．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加２米．

    （1）一个小球速度v随时间t变化的函数关系．它是一次函数吗？

（2）求第2．5秒时小球的速度．

    ３．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？

    解答：

    １．（1）（4）是一次函数；（1）又是正比例函数．

    ２．（1）v=2t，它是一次函数．

    （2）当t=2．5时，v＝2×2．5=5

    所以第2．5秒时小球速度为5米／秒．

    ３．函数解析式：y=50-5x

    自变量取值范围：0≤x≤10

    y是x的一次函数．

    [活动一]

    活动内容设计：

    画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象．并比较两个函数图象，探究它们的联系及解释原因．

    活动设计意图：

    通过活动，加深对一次函数与正比例函数关系的理解，认清一次函数图象特征与解析式联系规律．

    教师活动：

引导学生从图象形状，倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象，从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中k、b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现．

    学生活动：

引导学生从图象形状，倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象，从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中k、b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现．

比较上面两个函数的图象的相同点与不同点。

结果：这两个函数的图象形状都是______,并且倾斜程度_______.函数 y=-6x的图象经过原点,函数  y=-6x+5

的图象与  y轴交于点_______,即它可以看作由直线y=-6x 向_平移__个单位长度而得到.比较两个函数解析式,试解释这是为什么.

猜想：一次函数y=kx+b的图象是什么形状，它与直线y=kx有什么关系？

 结论：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线

y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜ 0时，向下平移）。1234567

画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.

    过（0，-1）点与（1，1）点画出直线y=2x-1．

    过（0，1）点与（1，0．5）点画出直线y=-0.5x+1．

    [活动二]

    活动内容设计：

    画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象．由它们联想：一次函数解析式y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？

    活动设计意图：

    通过活动，熟悉一次函数图象画法．经历观察发现图象的规律，并根据它归纳总结出关于数值大小的性质．体会数形结合的探究方法在数学中的重要性，进而认识理解一次函数图象特征与解析式联系．

    目的：

    引导学生从函数图象特征入手，寻求变量数值变化规律与解析式中k值的联系．

   结论：

    图象：

规律：

    当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升；当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降．

    性质：

    当k>0时，y随x增大而增大．

    当k<0时，y随x增大而减小．

    ⅲ．随堂练习

    １．直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为_________，图象经过第________象限，y随x增大而_________．

    ２．分别说出满足下列条件的一次函数的图象过哪几个象限？

    （1）k>0  b>0     （2）k>0  b<0

    （3）k<0  b>0     （4）k<0  b<0

    解答：

    １．（1．5，0）  （0，-3）  三、四、一  增大

    ２．（1）三、二、一    （2）三、四、一

    （3）二、一、四    （4）二、三、四

   小结

    本节学习了一次函数的意义，知道了其解析式、图象特征，并学会了简单方法画图象，进而利用数形结合的探究方法寻求出一次函数图象特征与解析式的联系，这使我们对一次函数知识的理解和掌握更透彻，也体会到数学思想在数学研究中的重要性．

    课后作业

    习题11．2─3、4、8题．

    活动与探究

    在同一直角坐标系中画出下列函数图象，并归纳y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中b对函数图象的影响．

    １．y=x-1  y=x  y=x+1

    ２．y=-2x+1  y=-2x  y=-2x-1

    过程与结论：

    b决定直线y=kx+b与y轴交点的坐标（0，b）．

    当b>0时，交点在原点上方．

    当b=0时，交点即原点．

    当b<0时，交点在原点下方．

   备用题：

    １．若函数y=mx-（4m-4）的图象过原点，则m=_______，此时函数是______函数．若函数y=mx-（4m-4）的图象经过（1，3）点，则m=______，此时函数是______函数．1234567

    ２．若一次函数y=（1-2m）x+3图象经过a（x1、y1）、b（x2、y2）两点．当x1<x2时，y1>y2，则m的取值范围是什么？

    答案：

    １．1   正比例    一次

    ２．解：∵当x1<x2时，y1>y2，

    ∴y随x增大而减小．

    据一次函数性质可知：

    只有当k<0时，y随x增大而减小

    故1-2m<0

    ∴m> .毛

课题：14.2．2  一次函数(二)

课时：58   

教学目标

    （一）教学知识点

    １．学会用待定系数法确定一次函数解析式．毛

２．具体感知数形结合思想在一次函数中的应用

（二）能力训练目标

    １．经历待定系数法应用过程，提高研究数学问题的技能．

    ２．体验数形结合，逐步学习利用这一思想分析解决问题．

教学重点

待定系数法确定一次函数解析式．

教学难点

    灵活运用有关知识解决相关问题．

教学方法

    归纳─总结

教具准备

    多媒体演示．

    教学过程

    １．提出问题，创设情境

    我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其解析式的特点及图象特征，并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律．如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征，能否确定解析式呢？

这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？

    ⅱ．导入新课

    有这样一个问题，大家来分析思考，寻求解决的办法．

    [活动]

    活动设计内容：

    已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．

    联系以前所学知识，你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图象之间的转化规律吗？

    活动设计意图：

    通过活动掌握待定系数法在函数中的应用，进而经历思考分析，归纳总结一次函数解析式与图象之间转化规律，增强数形结合思想在函数中重要性的理解．

    教师活动：

    引导学生分析思考解决由图象到解析式转化的方法过程，从而总结归纳两者转化的一般方法．

    学生活动：

    在教师指导下经过独立思考，研究讨论顺利完成转化过程．概括阐述一次函数解析式与图象转化的一般过程．

    活动过程及结论：

    分析：求一次函数解析式，关键是求出k、b值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得．

    设这个一次函数解析式为y=kx+b．

    因为y=k+b的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以

    解之，得 1234567

故这个一次函数解析式为y=2x-1。结论：

    像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．

练习：

    １．已知一次函数y=kx+2，当x=5时y的值为4，求k值．

２．已知直线y=kx+b经过点（9，0）和点（24，20），求k、b值．

3.  生物学家研究表明,某种蛇的长度y (cm)是其尾长x(cm)的一次函数,当蛇的尾长为6cm时, 蛇的长为45.5cm; 当蛇的尾长为14cm时, 蛇的长为105.5cm.当一条蛇的尾长为10 cm时,这条蛇的长度是多少?

4.教科书第35页第6题.

    解答：

    １．当x=5时y值为4．

    即4=5k+2，∴k=

    ２．由题意可知：

    解之得，

作业: 教科书第35页第5,7题.

备选题:

1. 已知一次函数y=3x-b的图象经过点p(1,1),则该函数图象必经过点(    )

a.(-1,1)         b.(2,2)       c.(-2,2)       d.(2,-2)

2. 若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，求 b的值．

3．点m（-2，k）在直线y=2x+1上，求点m到x轴的距离d为多少?

课题：14.2．2  一次函数(三)

课时：59

教学目标

    （一）教学知识点

    利用一次函数知识解决相关实际问题．

    （二）能力训练目标

    体会解决问题方法多样性，发展创新实践能力。

    教学重点

    灵活运用知识解决相关问题．

    教学难点

    灵活运用有关知识解决相关问题．

    教学方法

    实践─应用─创新．

    教具准备

    多媒体演示．

    教学过程

    1．提出问题，创设情境

    我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？

这将是我们这节课要解决的主要问题.

ⅱ．导入新课

下面我们来学习一次函数的应用．

    例1 小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．

    分析：本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟．写y随x变化函数关系式时要分成两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．

解：y=

    我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．

  例2 ａ城有肥料200吨，ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往ｃ、ｄ两乡．从ａ城往ｃ、ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从ｂ城往ｃ、ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现ｃ乡需要肥料240吨，ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？1234567

     通过这一活动让学生逐步学会应用有关知识寻求出解决实际问题的方法，提高灵活运用能力．

    教师活动：

    引导学生讨论分析思考．从影响总运费的变量有哪些入手，进而寻找变量个数及变量间关系，探究出总运费与变量间的函数关系，从而利用函数知识解决问题．

    学生活动：

    在教师指导下，经历思考、讨论、分析，找出影响总运费的变量，并认清它们之间的关系，确定函数关系，最终解决实际问题．

    活动过程及结论：

    通过分析思考，可以发现：ａ──ｃ，ａ──ｄ，ｂ──ｃ，ｂ──ｄ运肥料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来：

    若设ａ──ｃx吨，则：

    由于ａ城有肥料200吨：ａ─ｄ，200─x吨．

    由于ｃ乡需要240吨：ｂ─ｃ，240─x吨．

    由于ｄ乡需要260吨：ｂ─ｄ，260─200+x吨．

    那么，各运输费用为：

    ａ──ｃ  20x

    ａ──ｄ  25（200-x）

    ｂ──ｃ  15（240-x）

ｂ──ｄ  24（60+x）

    若总运输费用为y的话，y与x关系为：

    y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）．

    化简得：

y=40x+10040  （0≤x≤200）．

    由解析式或图象都可看出，当x=0时，y值最小，为10040．

    因此，从ａ城运往ｃ乡0吨，运往ｄ乡200吨；从ｂ城运往ｃ乡240吨，运往ｄ乡60吨．此时总运费最少，为10040元．

    若ａ城有肥料300吨，ｂ城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？

    解题方法与思路不变，只是过程有所不同：

    ａ──ｃ  x吨  ａ──ｄ  300-x吨

    ｂ──ｃ  240-x吨  ｂ──ｄ  x-40吨

    反映总运费y与x的函数关系式为：

    y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）．

    化简：y=4x+10140  （40≤x≤300）．

    由解析式可知：

    当x=40时  y值最小为：y=4×40+10140=10300

    因此从ａ城运往ｃ乡40吨，运往ｄ乡260吨；从ｂ城运往ｃ乡200吨，运往ｄ乡0吨．此时总运费最小值为10300吨．

    如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤300的呢？

    由于ｂ城运往ｄ乡代数式为x-40吨，实际运费中不可能是负数，而且ａ城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x取值应在40吨到300吨之间．

   总结:

   解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量间的关系，选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．这样就可以利用函数知识来解决了．1234567

    在解决实际问题过程中，要注意根据实际情况确定自变量取值范围．就像刚才那个变形题一样，如果自变量取值范围弄错了，很容易出现失误，得到错误的结论．

    ⅲ练习

    从ａ、ｂ两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，ａ、ｂ两水库各可调出水14万吨．从ａ地到甲地50千米，到乙地30千米；从ｂ地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（万吨·千米）最少．

    解答：设总调运量为y万吨·千米，ａ水库调往甲地水x万吨，则调往乙地（14-x）万吨，ｂ水库调往甲地水（15-x）万吨，调往乙地水（x-1）万吨．

    由调运量与各距离的关系，可知反映y与x之间的函数为：

    y=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）．

    化简得：y=5x+1275  （1≤x≤14）．

    由解析式可知：当x=1时，y值最小，为y=5×1+1275=1280．

    因此从ａ水库调往甲地1万吨水，调往乙地13万吨水；从ｂ水库调往甲地14万吨水，调往乙地0万吨水．此时调运量最小，调运量为1280万吨·千米．

    ⅳ．小结

    本节课我们学习并掌握了分段函数在实际问题中的应用，特别是学习了解决多个变量的函数问题，为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途，使我们进一步认识到学习函数的重要性和必要性．

    ⅴ．课后作业

    习题11．2─7、9、11、12题．

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