[直线与椭圆的位置关系推导过程]直线与椭圆的位置关系导学案

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教学目标：
（1）会判断直线与椭圆的位置关系,理解直线与椭圆相交所得的弦长公式;
（2）通过求弦长具体实例，发现求弦长的一般规律，体验从特殊到一般的认识规律；
（3）通过几何关系与代数运算的不断转化，感悟解析几何基本思想，培养学生逻辑推理能力和运算能力.
教学重点：直线与椭圆的弦长公式探究
教学难点：从特殊到一般规律的发现，“数”和“形”之间的相互转化.
教学过程：
教师：直线与圆有哪些位置关系？如何判断？
学生：直线与圆的位置关系及其判定：
几何方法： 相离、 相切、 相交.
代数方法：方程组 无解相离、有唯一解相切、有两组解相交.
教师：由于圆的特殊性，几何方法显得简单，而代数方法具有一般性.自然引出下面问题.类比直线和圆，直线与椭圆有哪些位置关系？
（板书： ： ，e: ）
学生：直线与椭圆有三种位置关系：相离、相切、相交.或直线与椭圆的公共点个数可能是零个、一个、两个.
教师：当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离；当有一个公共点时，称直线与椭圆相切，这条直线叫椭圆的一条切线；当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆相交.（板书：相离、相切、相交）
      板书课题：直线椭圆位置关系
教师：请大家研究下面问题如何解决
判断出直线 与椭圆e： 的位置关系是_______
学生1：画图，直线与y的交点（0, 1）在椭圆内部，所以直线与椭圆相交.
学生2：由（板书） ，得 ,
 ，直线与椭圆相交.

教师：（学生思考解答时，教师画出椭圆）学生1的方法简捷明了，使得我们对问题有了直观的认识，为什么多数同学没有这样解答呢？从“数形结合”是思考问题的首选。
但我们的认识不能停留在此，要进一步深入；如果将直线改为 ，在化草图的情况下方法1就不适合了，而方法2具有一般性.（板书
 消去y得 ， .
 时相离、 时相切、 时相交。
教师：上述问题中，设直线与椭圆交于a,b两点，你如何求线段ab的长|ab|呢？
（学生独立解答教师巡视）运算过程中想一想能否优化运算过程，简化运算。
教师提示.
发现下面三种运算，请该生板书
学生1： ， ；
        a（ ， ），b（ ， ）.
|ab|=
 .
学生2： ， ；
        a（ ， ），b（ ， ）.
|ab|=
 = .
学生3： ， ；
          =
|ab|=
= .
教师：运算是一件既容易又困难的工作，容易是指谁都会算，困难是指算得既简洁又准确。学生2注意到提取公因数，比学生1的算法要简单；学生3（如果没有学生这样做，老师从学生2中引导出来）注意到 与 之间关系，使得要研究4个未知量的问题转化为两个未知量的问题。同过大家的实践，可以发现对于直线上两点 ，结论  。这是由于直线上点的横纵坐标是线性变化的。
      大家再仔细观察解题过程，还能发现那些结论？
学生：在|ab|= 中， ；（ ）
教师：上述结论是偶然还是必然？能否推广到一般情况使得我们连两个未知数 都可以不求了？
学生：当直线与椭圆相交时|ab|=  成立。12
教师：小结一下我们上面的探究，(1)计算不是一味地算，要观察数式之间的联系，比如提取公因式、配方等如学生2；（2）在解析几何中利用数式的几何意义如学生3；（3）从具体过程中发现一般规律，如弦长公式。
教师：解析几何思想方法告诉我们，代数结论要翻译成几何结论，那么|ab|= 在图形中的有怎样几何的意义呢？
教师：（如果前面没有得到 ）
|ac|=| |,|bc|= ，由勾股定理
可得|ab|= ，比较|ab|= ，
得到 。
（如果前面得到了 ）由 ，可求得 ，那么 。
教师：这说明弦长公式我们可以从代数和几何两个角度去理解。
练习：已知直线直线 与椭圆e： 交于a,b两点，求aob的面积。
小结：请同学总结回顾本节课你学到了什么知识？有什么体会？
直线与椭圆的位置关系及判定方法、弦长公式|ab|= ；弦在x轴上的投影| | ，或 ，以及用代数法解决几何问题的方法.
解题要反思，从解题过程和结论中能否发现规律；做解析几何题目不是程序化操作，要思考运算背后的几何意义.

检测题：
1. 直线 被椭圆 截得的弦长为_______________.；

2. 直线y=k（x+1）与椭圆 的位置关系为______________;

3. 直线 被椭圆 截得的弦长为___________;

4. 已知直线直线 与椭圆e： 交于a,b两点，若三角形aob的面
积1，求直线的斜率 的值.

5. 已知直线直线 与被椭圆e： 截得弦长为 ,求直线的方
程.
. 
6.判断直线y=kx+b与椭圆 位置关系时，若我们消去的是x，得到的是关于y的二元一次方程： （a ），弦长公式有变化吗？你能利用这节课的思想方法证明你的结论吗？

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