[高一数学必修一教案人教版]人教版高一数学《指对数的运算》教案
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指对数的运算
一、反思数学符号: “ ”“ ”出现的背景
1.数学总是在不断的发明创造中去解决所遇到的问题。
2.方程 的根是多少?;
①.这样的数 存在却无法写出来?怎么办呢?你怎样向别人介绍一个人? 描述出来。
②..那么这个写不出来的数是一个什么样的数呢? 怎样描述呢?
①我们发明了新的公认符号 “ ”作为这样数的“标志” 的形式.即 是一个平方等于三的数.
②推广: 则 .
③后又常用另一种形式分数指数幂形式
3.方程 的根又是多少?① 也存在却无法写出来??同样也发明了新的公认符号 “ ”专门作为这样数的标志, 的形式.
即 是一个2为底结果等于3的数.
② 推广: 则 .
二、指对数运算法则及性质:
1.幂的有关概念:
(1)正整数指数幂: = ( ). (2)零指数幂: ).
(3)负整数指数幂: (4)正分数指数幂:
(5)负分数指数幂: ( 6 )0的正分数指数幂等于0,负分指数幂没意义.
2.根式:
(1)如果一个数的n次方等于a, 那么这个数叫做a的n次方根.如果 ,那么x叫做a的次方根,则x= (2)0的任何次方根都是0,记作 . (3) 式子 叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数.
(4) . (5)当n为奇数时, = . (6)当n为偶数时, = = .
3.指数幂的运算法则:
(1) = . (2) = . 3) = .4) = .
二.对数
1.对数的定义:如果 ,那么数b叫做以a为底n的对数,记作 ,其中a叫做 , 叫做真数.
2.特殊对数:
(1) = ; (2) = . (其中
3.对数的换底公式及对数恒等式
(1) = (对数恒等式). (2) ; (3) ; (4) .
(5) = (6) = .(7) = .(8) = ; (9) = 123
(10)
三、经典体验:
1.化简根式: ; ; ;
2.解方程: ; ; ; ;
3.化简求值:
;
4.【徐州六县一区09-10高一期中】16. 求函数 的定义域。
四、经典例题
例:1画出函数草图: .
练习:1. “等式log3x2=2成立”是“等式log3x=1成立”的 ▲ .必要不充分条件
例:2. 若 则 ▲ .
练习:1. 已知函数 求 的值 ▲ ..
例3:函数f(x)=lg( )是 (奇、偶)函数。
点拨:
为奇函数。
练习:已知 则 .
练习:已知 则 的值等于 .
练习:已知定义域为r的函数 在 是增函数,满足 且 ,求不等式 的解集。
例:4解方程 .
解:设 ,则 ,代入原方程,解得 ,或 (舍去).由 ,得 .经检验知, 为原方程的解.
练习:解方程 .
练习:解方程 .
练习:解方程: .
练习:设 ,求实数 、 的值。
解:原方程等价于 ,显然 ,我们考虑函数 ,显然 ,即 是原方程的根.又 和 都是减函数,故 也是减函数.
当 时, ;当 时, ,因此,原方程只有一个解 .分析:注意到 , ,故倒数换元可求解.
解:原方程两边同除以 ,得 .设 ,原方程化为 ,化简整理,得 . , ,即 . .
解析:令 ,则 ,∴原方程变形为 ,解得 , 。由 得 ,∴ ,
即 ,∴ ,∴ 。由 得 ,∴ ,∵ ,∴此方程无实根。故原方程的解为 。评注:将指数方程转化为基本型求解,是解决该类问题的关键。
解析:由题意可得, , ,原方程可化为 ,即 。
∴ ,∴ 。
∴由非负数的性质得 ,且 ,∴ , 。
评注:通过拆项配方,使问题巧妙获解。
例5:已知关于 的方程 有实数解,求 的取值范围。
已知关于 的方程 的实数解在区间 ,求 的取值范围。
反思提炼:1.常见的四种指数方程的一般解法
(1) 方程 的解法:
(2) 方程 的解法: 123
(3) 方程 的解法:
(4) 方程 的解法:
2.常见的三种对数方程的一般解法
(1)方程 的解法:
(2)方程 的解法:
(3)方程 的解法:
3.方程与函数之间的转化。
4.通过数形结合解决方程有无根的问题。
课后作业:
1.对正整数n,设曲线 在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为 ,则数列 的前n项和的公式是
[答案] 2n+1-2
[解析] ∵y=xn(1-x),∴y′=(xn)′(1-x)+(1-x)′•xn=n•xn-1(1-x)-xn.
f ′(2)=-n•2n-1-2n=(-n-2)•2n-1.
在点x=2处点的纵坐标为y=-2n.
∴切线方程为y+2n=(-n-2)•2n-1(x-2).
令x=0得,y=(n+1)•2n,
∴an=(n+1)•2n,
∴数列ann+1的前n项和为2(2n-1)2-1=2n+1-2.
2.在平面直角坐标系 中,已知点p是函数 的图象上的动点,该图象在p处的切线 交y轴于点m,过点p作 的垂线交y轴于点n,设线段mn的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_____________
解析:设 则 ,过点p作 的垂线
,所以,t在 上单调增,在 单调减, 。
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【集合】集合详细阅读
一、知识结构 本小节首先从初中代数与几何涉及的实例人手,引出与的元素的概念,并且结合实例对的概念作了说明.然后,介绍了的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示的例子.二、重点难点分析 这一节的重点是的基本概念和表示方法,难点是运用的三种常用表示方法正确表示一些简单的.这一节的特点是概念多...
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下学期是几月到几月_下学期 5.6平面向量的数量积及运算律1详细阅读
(第一课时)一、教学目标 1.正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角; 2.掌握平面向量的数量积的重要性质,并能运用这些性质解决有关问题; 3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力...
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[下学期是几月到几月]下学期 4.11 已知三角函数值求角1详细阅读
(第一课时)一.教学目标 1.理解反正弦、反余弦、反正切的意义,并会用反三角符号表示角. 2.掌握用反三角表示 中的角.二.教具 直尺、投影仪三.教学过程 1.设置情境 由函数 的定义知,对定义域 中的任一元素 ,在值域 中都有一个元素 使 ,我们知道, 存在反函数时,上述值域 中的元素不仅存在...
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下学期是几月到几月|下学期 4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切1详细阅读
4.6两角和与差的正弦、余弦、正切(第一课时)(一)教具准备 直尺、圆规、投影仪(二)教学目标 1.掌握 公式的推导,并能用赋值法,求出公式 . 2.应用公式 ,求三角函数值.(三)教学过程 1.设置情境 上一单元我们学习了同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系.本节开始讨论两...
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【上学期是几月到几月】上学期 3.4等比数列详细阅读
教学目标 1 通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并掌握通项公式 2 使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养学生的观察、概括能力 3 培养学生勤于思考,实事求是的精神,及严谨的科学态度 教学重点,难点 重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导 教学用具 投影仪,多媒体软件,电脑 教学...
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下学期是几月到几月_下学期 4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质1详细阅读
4 8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第一课时) (一)教学具准备 直尺、圆规、投影仪.(二)教学目标 1.了解作正、余弦函数图像的四种常见方法. 2.掌握五点作图法,并会用此方法作出 上的正弦曲线、余弦曲线. 3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像.(三)教学过程 (可用课件辅助教学)...
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下学期是几月到几月|下学期 5.4 平面向量的坐标运算2详细阅读
(第二课时)一.教学目标 1.熟练掌握向量的坐标运算,并能应用它来解决平面几何的有关问题. 2.会根据平面向量的坐标,判断向量是否共线;二.教学重点 向量共线充要条件的坐标表示及应用. 教学难点 向量与坐标之间的转化.三.教学具准备 直尺、投影仪四.教学过程 1.设置情境 引进直角坐标系后...
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下学期是几月到几月|下学期 4.5 正弦、余弦的诱导公式详细阅读
正弦、余弦的诱导公式教学设计示例(一)教学目标 : 1.掌握诱导公式及其推演时过程. 2.会应用诱导公式,进行简单的求值或化简.教学重点: 理解并掌握诱导公式.教学难点 : 运用诱导公式求三角函数值,化简或证明三角函数式.教学用具: 三角板、圆规、投影仪.教学过程 :1.设置情境 我们已经学过了诱导...
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[下学期是几月到几月]下学期 5.5 线段的定比分点详细阅读
一.教学目标 1.理解点P分有向线段所成的比λ的含义,能确定λ的正负号; 2.掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式,并能熟练运用这两个公式解决实际问题; 3.向学生渗透数形结合的思想,培养学生的思维能力,发现事物间的变化规律 二.教学重点 线段的定比分点和终点的坐标公式的应用. 教学难点...
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【子集】子集、全集、补集详细阅读
教学目标 : (1)理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念; (2)了解全集、空集的意义, (3)掌握有关的符号及表示方法,会用它们正确表示一些简单的集合,培养学生的符号表示的能力; (4)会求已知集合的子集、真子集,会求全集中子集在全集中的补集; (5)能判断两集合间的包含、相等关系,并会用符号...