[平面向量的数量积及运算律ppt]平面向量的数量积及运算律（1）

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教学目的：
1 掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4 掌握向量垂直的条件
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教    具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
    本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律
教学过程：
一、复习引入：    
1． 向量共线定理  向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ 
2．平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2
3．平面向量的坐标表示
  分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得
把 叫做向量 的（直角）坐标，记作
4．平面向量的坐标运算
若 ， ，
则  ，  ， 
若 ， ，则
5． ∥  (  )的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．线段的定比分点及λ
  p1, p2是直线l上的两点，p是l上不同于p1, p2的任一点，存在实数λ，
使  =λ ，λ叫做点p分 所成的比，有三种情况：
λ>0(内分)      (外分) λ<0 (λ<-1)    ( 外分)λ<0  (-1<λ<0)

7 定比分点坐标公式：
若点p１(x1,y1) ，ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且 ＝λ ，则点p的坐标为（ ），我们称λ为点p分 所成的比
8 点p的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时， 与 同向共线，这时称点p为 的内分点
②当λ＜０( )时， 与 反向共线，这时称点p为 的外分点
9 线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点o，设 ＝ ， ＝ ，
可得 = 
10．力做的功：w = | || |cos，是 与 的夹角
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则∠ａｏｂ＝θ（０≤θ≤π）叫 与 的夹角
说明：（1）当θ＝０时， 与 同向；
（2）当θ＝π时， 与 反向；
（3）当θ＝ 时， 与 垂直，记 ⊥ ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 范围0≤≤180
 
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作  ，即有   = | || |cos，
（０≤θ≤π） 并规定 与任何向量的数量积为0
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
（2）两个向量的数量积称为内积，写成  ；今后要学到两个向量的外积 × ，而  是两个向量的数量的积，书写时要严格区分 符号“• ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 123
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若  ，且  =0，不能推出 =  因为其中cos有可能为0
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c
但是   =       = 
   如右图：   = | || |cos = | ||oa|，  = | || |cos = | ||oa|
    =     但   
 (5)在实数中，有(aa)c = a(ac)，但是(  )    (  )
                显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 不共线
3．“投影”的概念：作图
              
定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | |
4．向量的数量积的几何意义：
数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| | os的乘积
5．两个向量的数量积的性质：
设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量
1    =    =| |cos
2        = 0
3 当 与 同向时，   = | || |；当 与 反向时，   = | || |
 特别的   = | |2或
4  os =
5|  | ≤ | || |
三、讲解范例：
例1 判断正误，并简要说明理由
① • ＝ ；②0• ＝０；③ － ＝ ；④｜ • ｜＝｜ ｜｜ ｜；⑤若 ≠ ，则对任一非零 有 • ≠０；⑥ • ＝０，则 与 中至少有一个为 ；⑦对任意向量 ， ， 都有（ • ） ＝ （ • ）；⑧ 与 是两个单位向量，则 ２＝ ２
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有 • ＝０；
对于②：应有０• ＝ ；
对于④：由数量积定义有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜•｜cosθ｜≤｜ ｜｜ ｜，这里θ是 与 的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜；
对于⑤：若非零向量 、 垂直，有 • ＝０；
对于⑥：由 • ＝０可知 ⊥ 可以都非零；
对于⑦：若 与 共线，记 ＝λ 
则 • ＝（λ ）• ＝λ（ • ）＝λ（ • ），
∴（ • ）• ＝λ（ • ） ＝（ • ）λ ＝（ • ）
若 与 不共线，则( • ) ≠（ • ） 
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律
例2 已知｜ ｜＝３，｜ ｜＝６，当① ∥ ，② ⊥ ，③ 与 的夹角是60°时，分别求 •  123
解：①当 ∥ 时，若 与 同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若 与 反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ • ＝｜ ｜｜ ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当 ⊥ 时，它们的夹角θ＝90°，
∴ • ＝０；
③当 与 的夹角是60°时，有
 • ＝｜ ｜｜ ｜cos60°＝3×6× ＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当 ∥ 时，有0°或180°两种可能
四、课堂练习：
五、小结  通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1 概念辨析：正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：
1 已知△abc中， ＝５， ＝８，ｃ＝６０°，求 • 
对此题，有同学求解如下：
解：如图，∵｜ ｜＝ ＝５，｜ ｜＝ ＝８，ｃ＝６０°，
∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cosｃ＝5×8cos60°＝20
分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中 与 两向量的起点并不同，因此，ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是c的补角120°
2 向量的数量积不满足结合律
分析：若有（ • ） ＝ •（ • ），设 、 夹角为 ， 、 夹角为β，则( • ) ＝｜ ｜•｜ ｜cosα• ，
 •( • )＝ •｜ ｜｜ ｜cosβ
∴若 ＝ ，α＝β，则｜ ｜＝｜ ｜，进而有：（ • ） ＝ •( • )
这是一种特殊情形，一般情况则不成立 举反例如下：
已知｜ ｜＝１，｜ ｜＝１，｜ ｜＝ ， 与 夹角是60°， 与 夹角是45°，则：
( • )• ＝（｜ ｜•｜ ｜cos60°） ＝  ，
 •( • )＝（｜ ｜•｜ ｜cos45°） ＝
而  ≠ ，故（ • ）• ≠ •（ • ）

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