【高数因式分解待定系数法】《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳

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知识体系梳理
◆  添项拆项法
有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。
一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。
◆  待定系数法
有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
◆  换元法
所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫         。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。
（1）、使用换元法时，一定要有    意识，即把某些相同或相似的部分看成一个     。
（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。
（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。
★★  典型例题、方法导航
◆  方法一：添项拆项法
【例1】分解因式：
分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分解。从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即  ，再看常数项 可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是 或 或 ,但 的中间项是 ,因此 是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。下面请看：
解：
 
其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有 和 的因式，因此还有其他更多的分解方法。
方法二：
方法三：
方法四：
方法五：
方法六：   （余下过程同学自己完成）
方法点金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数有关的因式。
◎ 变式议练一：
分解下列各式的因式
（1）                 （2）                （3）
◆  方法二：待定系数法
【例2】分解因式：
解：
设：
展开后左右两边比较系数求出 、 即可。

分解结果：
【例3】已知多项式 能被 整除，请分解前者的因式。
分析：设 ，利用多项式的恒等求出 、 即可。

◎ 变式议练二：
1、已知 是 的一个因式，则          ；
2、用待定系数法分解因式：
【例4】在实数范围内分解因式
（1）            （2）            （3） 12
◎ 变式议练三：
求 的算术平方根。
◆  方法三：换元法
◆  直接换元法
【例5】用换元法分解因式：
方法点金：设 ，
注意：换元法分解因式最后要回归。
◎ 变式议练四
1、用换元法分解因式：
2、用换元法分解因式：
方法点金：当两括号中的二次项，一次项的系数对应成比例可考虑用换元法分解因式。
【例6】分解因式：
分析：两括号中二次项、一次项系数的比为 ，可以换元。
◆  组合换元法
【例7】分解因式：
分析：观察第一、四括号内的常数项和第二、三括号内的常数的和为 ，因此也可用组合换元法分解因式。
◎ 变式议练五
证明四个连续正整数的积与1的和是一个完全平方。
◆  能力与创新
把下列各式分解因式：
①、              ②、
③、

◆◆◆◆   快乐体验
1、若多项式 和多项式 有公因式，则        ；
2、若 能被 整除，则             ；
3、分解因式：
（1）            （2）
4、已知多项式 有一个因式是 ，把这个多项式分解因式。

5、甲、乙两同学分解多项式 时，甲看错了 ,分解结果为 ,乙看错了 ,分解结果为 ,请分析一下， 、 的值分别为多少？并写出正确的分解过程。
6、已知一个三角形的三边 、 、 满足 ,试判断这个三角形的形状，并证明你的结论。

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