[质数和合数教学设计]《质数和合数》教学案例
【jiaoan.jxxyjl.com--小学五年级数学教案】
本周我上了一节教学常规视导课,是小学数学第10册的《质数和合数》。
【片断一】
课前,我问学生:“今天我们在教室上课与往日有什么不同吗?”
“来了三位客人老师。”生齐答。
“是的,每位同学都表现出了最佳的精神状态。好的,你能根据一定的标准将我们教室内所有的师生进行分类吗?”
生①:“可以根据老师和学生的区别分为两类,就是所有的老师为一类,所有的学生为一类。”
生②:“可以根据性别来分类,所有男的为一类,所有女的为一类。”
生③:“可以根据是否戴眼镜来分类,戴眼镜的人为一类,不戴的为一类。”
生④:“可以把听课的老师分为一类,把我们自己班的同学和任老师分为一类。”
生⑤:“可以按小组来分类,第一组为一类,第二组为一类,第三组为一类。”
……
还有很多双小手示意要发言。
“刚才这几位同学的分类都有一定的道理,有自己的分类标准,是可以的。下面我想请你简洁地、最好就用一句话来解决一个问题。”
“假如有人说我们教室内的人全部都是男的。你如何跟他反驳?”我发问。
“我就指着刘倩说她是女的,就可以说明他说的这句话是错的。”刘星星指着自己的同桌说,引起全班同学大笑。
“刘星星说的有道理吗?”
“可以的,只要指出有一个不是男的,就能证明那句话是错的。”有学生解释给其他同学听。
【片断二:】
“前面我们学习了约数和倍数的有关知识,你能有序地写出一个数的所有的约数吗?”
我把“所有的”三个字加重了音说,目的是为了强调,不漏写约数。
很快,大家都写好了1~12这12个数的所有的约数,我把其中一个同学写的展示出来了:
1的约数:17的约数:1、7
2的约数:1、28的约数:1、2、4、8
3的约数:1、39的约数:1、3、9
4的约数:1、2、410的约数:1、2、5、10
5的约数:1、511的约数:1、11
6的约数:1、2、3、612的约数:1、2、3、4、6、12
“你能根据约数的个数来将这12个数进行分类吗?”我强调了“约数的个数”这几个字。
生①:“我想把这12个数分成这样几类,1有一个约数为一类,2、3、5、7、11各有两个约数为一类,4、9各有三个约数为一类,6、8、10各有四个约数为一类,12有六个约数为一类。即约数个数相同的各为一类。”
生②:“我是把约数的个数为奇数的分为一类,个数为偶数的分为一类,即1、4、9为一类,2、3、5、6、7、8、10、11、12为一类。”
生③:“我是把1、2、3、4、5、7、9、11分为一类,6、8、10、12分为一类的,因为第一类数的约数的个数都是3个或3个以下的,而另一类数的约数个数都是3个以上的。”
生④:“我是把1、2、3、5、7、11分为一类,4、6、8、9、10、12分为一类的,因为第一类数的约数的个数都是1个或2个的,而另一类数的约数个数都是2个以上的。”
生⑤:“我是这样分的,1分为一类,2、3、5、7、11分为一类,4、6、8、9、10、12分为一类的。因为1既不是质数也不是合数;2、3、5、7、11是质数,它们只有两个约数;4、6、8、9、10、12是合数,它们有三个或三个以上的约数。”123
“他都知道质数和合数了,一定是课前作了很好的预习,预习也是搞好学习的重要环节。”我边板书“质数”、“合数”,边表扬生⑤,“那么质数和合数到底‘长得’是什么样的呢?我们继续研究。”此时,由师生共同直接从质数和合数的概念入手,再次深入研究其约数个数的不同特征。
【片断三】
“前面,我们按照一个数是否能被2整除可以把自然数分为两类,奇数和偶数。今天我们能否重新给自然数分类呢?”说着,我在黑板上板书了“自然数”三个字,并在下面画了一个椭圆。
生①:“可以分为质数和合数两类。”
生②:“不对,还要再加上‘1’才行!”
生③:“我也同意把自然数分为三类,就是‘1’、‘质数’和‘合数’。”
她把“1”画在一个小小的圈里(上图①),“为什么把‘1’画在这个小小的圈里呢?”我不解地问。
“因为只有‘1’啊!”她更不解地看着我。
“你觉得‘1’只有一个,是吗?”
女孩点点头。
“‘1’虽然这一类只有一个,可它也是一类啊,对不对?是一类就应该享有平等的‘权利’,是吗?”我问大家。
“是的。”全体同学作答。
“那我们可以这样来表示吗?”(如图②)。
“可以。”
“那你们再来猜猜看,在非零自然数中是质数多还是合数多?”
“因为质数和合数都有无限多个,所以应该画一样的。”
【片断四】
在让学生动手制作100以内的质数表时,我先让学生说出自己的制作步骤,然后才动手制作,等制作完成时,我问:“我们在把2、3、5、7的倍数划去后,还要不要继续划去8的倍数、9的倍数、10的倍数……?”
生①:“不需要再继续划去8的倍数了,在前面划去2的倍数时,已经把8的倍数都划去,因为一个数如果是8的倍数,它肯定也是2的倍数。”
生②:“同样道理,也不需要再继续划去10的倍数了。”
“那9的倍数呢?”我接着问。
生③:“也不需要再继续划去9的倍数了,在前面划去3的倍数时,已经把9的倍数都划去,因为一个数如果是9的倍数,它肯定也是3的倍数。”
“对,是这样的。那么我们在制作100以内的质数表时,当7的倍数划完后,一直要划到哪个数的倍数为止呢?”
生④:“就到7的倍数划完后就可以了,因为7后面的一个质数是11,11乘11是121,121都超过100了,所以到7的倍数划完后剩下的数就都是质数了。”
【思考】
上述四个片断的处理,我认为基本上突破了《质数和合数》这一课时的关键和难点,实现了使学生理解和掌握质数和合数的意义这一目标,同时在这个过程中也实现了对学生渗透某些数学思想的任务,如集合的思想、分类的思想、极限的思想等等。
①片断一是课前谈话,看似普通,实则用意深刻,因为这是片断二的铺垫之作,没有片断一的伏笔,就不会有片断二中对1~12这12个数的分类的深刻和有意义。因为片断二中对12个数的分类是充分的,所以学生对于质数和合数的概念的形成也是牢固的,有意义的,可建构的,有“原形”的。实则上对于质数和合数的区分,是基于对这个数的约数的个数的区分的,而这个对约数个数的分类的历程又是丰富的,是源自学生已有认知基础的,从已有认知到质数概念的建立,这也是一个思维的节点,必要的、充分的对于约数个数的分类则是有效激活这一节点的重要环节。123
②片断三重在解决两个问题,一个是“1”在非零自然数的这一次分类中到底占有几席之地?一个是“质数”和“合数”两者中谁的个数更多?第一问题学生可以丝毫不经思考地把“1”圈在一个很小的圈里,这是学生真实的想法,因为“1”就只有一个数,而质数和合数有那么多,就应该在那个集合里画一个小小的圈。可是从分类的角度出发,尽管“1”只有一个数,质数和合数各有那么多,可“1”在这里它也代表着一类,类与类之间应该是平等的,各有自己的特征,所以把非零自然数的分类作了上述处理(如图②)。第二个问题中,学生从1~12这12个数的分类中可以明显地感觉到,质数少于合数,于是大多数人认为质数少,合数多。那么教师就要借助于“自然数个数、有没有最大自然数”等学生的已有认识进行有效的迁移,逐渐浸润“极限”的思想,让学生在朦胧中感觉两者皆为无限多。在这里,教师就要打碎学生初步的、原生态的固有思维习惯,把它调整到数学的、合理的、有挑战性的思维平台上来,这是又一次思维水平的提升。
③片断四处理的是一个问题解决中策略的合理性问题,“为什么制作100以内的质数表,只要把2、3、5、7的倍数(本身除外)划去就可以了呢?而不需要再去划8、9、10……的倍数呢?”“为什么只要到划去7的倍数后就可以停止了呢?而不要划到11的倍数呢?”如果不解决这些问题,即使学生亲自动手制作了100以内的质数表,其内心也很纳闷,不知其所以然
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