两角差的余弦公式|两角差的余弦公式

【jiaoan.jxxyjl.com--高一数学教案】

【教学目标】

【知识与技能】

①了解两角差的余弦公式的推导；

②掌握两角差的余弦公式并能对公式进行初步的应用。

【过程与方法】

①经历大胆猜想---初步验证---理论证明---应用与拓展的数学化的过程让学生感受到知识的产生和发展；

②利用信息技术揭示单角的三角函数值与两角差的余弦值之间的关系，激发学生探究数学的积极性；

③培养学生获取数学知识、数学交流的能力；

  【情感态度价值观】

①使学生体会联想转化、数形结合、分类讨论的数学思想；

②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度。

【教学重点、难点】

重点： 两角差余弦公式的探索和初步应用。
难点：探索过程的组织和引导。
【教学手段】 用几何画板和powerpoint演示。
【教学流程】

创设问题情景，揭示课题

感知猜想

利用几何画板验证猜想

组织和引导学生共同合作探索公式

通过例题、练习，加强对公式的理解

回顾与反思

布置作业，引发其他公式的探究

【教学设计】

（一）创设问题情境，揭示课题
先让学生口答 的正弦余弦值，再提出  

问题1. 有什么关系？

（ ）

问题2.对于a、b、c

（让学生讨论，老师归纳其讨论结果，并指出不成立。因为

）

问题3.对于任意角α、β，
（设计意图：由特殊问题引发一般问题，唤起学生解决问题的意识，抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。）
（二）感性认知，提出猜想

问题：如何用任意角α和β的正弦、余弦值来表示cos（α－β）？

虽然 但学生自然猜想到它们之间有一定的等量关系，于是让学生凭借直觉，发挥想象，将sinα、sinβ、cosα、cosβ随意组合，构造出结果的表示形式。

（三）验证猜想

   借助几何画板，呈现猜想的式子，计算出cos（α－β）和各式子的值，发现当随意变换角度α和β时，总有cos（α－β）和

cosαcosβ+sinαsinβ的结果相等，所以猜测公式的形式可能是：

cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

（第一组验证）

（第二组验证）

（设计意图：使学生看到现代化信息技术对探讨数学问题的帮助，从而引导学生在今后的学习和工作中能重视现代信息技术的应用。）
（四）联想转化、探索论证

让学生加强新旧知识的联系，寻找已有知识点的理论支持，选定探讨方法，适时提问，逐步引导，层层推进。

问题(1)刚才的验证可靠吗？为什么？

（不可靠，它并不能代表一般性）

问题(2)对于任意的α和β,你如何证明上式恒成立呢？你联想到哪些相关知识？
1.根据学生的回答，先利用向量来证明。

问题（3）你是如何联想到向量？用向量证明得先做哪些准备？

问题（4）在图中选择哪些向量，它们如何表示？

问题（5）如何利用向量的运算构造出等式的左右两边？

问题（6）证明是否严密？若有，请你补充。
（设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。）

2.利用学生对旧知识的联想提出利用三角函数线来证明。

让学生研读教材，并提出相应的问题，拓宽学生的思维。

问题（1）如何构造三角函数线来证明公式？12

问题（2）证明前提是什么?证明完成了吗？

(是在三个角都是锐角的前提下证明的,不具备一般性)

问题（3）两种证明方法用的是哪一种数学思想方法？

问题（4）你认为哪一种方法好？

（设计意图：分化难点，突出重点，拓宽思维，养成研读教材，善于思考，善于提问，小组合作的好习惯）
3.分析公式结构特点，寻求简单记忆

(记作 ,谐音记忆为:烤烤晒晒符号反)

【拓展与应用】
1. 利用差角余弦公式求 的值
（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）

2.

（让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。并使学生体会到思维的有序性和表达的条理性是三角变换的基本要求。）

变式：去掉α的范围，对结果有影响吗？

（提醒学生注意三角函数的符号问题，并培养学生分类讨论的思想）

3.①求 的值

②求 的值

③求 的值

（设置题目由简单到复杂，由具体角度到任意角，培养学生的灵活变换能力和逆向思维能力）

4．
（让学生结合公式 ，明确需要先求哪些三角函数值，可使问题得到解决。）

（让学生自主练习，收集学生的解法，对比点评，培养学生对角进行拆分，构造出差角，灵活运用公式）

变式二：

（巩固对角的拆分，突出灵活的重要性）
（例题和习题的设计意图：通过基础训练和变式训练，加强学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）
【回顾与反思】

1. 回顾公式的推导过程，让学生口述并辅以简单的流程图。

2．体会其中蕴涵的数学思想。

3．你在公式的推导过程中有什么启发和感受？

4．公式的应用过程中应该注意什么问题，你有什么体会？

 (设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式的推导和应用过程的理解，促进知识的内化。)
【设置作业和思考题】.

作业: 的1,4题

思考:你能利用如何用cos (α－β)继续探究α±β的三角函数？
(设计意图：巩固本节课的知识,并根据本节课所讲的知识提出问题，而用下一节课要学的知识解决问题作为课堂教学的结束，使新旧知识建立联系，给学生留下悬念。使学生在探索学习的过程中，充满好奇心和兴趣，充分调动了学生的主观能动性。)

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