1|1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

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1、3、1  柱体、锥体、台体的表面积与体积

小故事:被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？

要求： 新课标对本节内容要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.一、【学习目标】1、了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），    提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意   识，增加学生学习数学的兴趣；2、掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，  培养学生转化、化归以及类比的能力.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生们把握整体的课堂学习.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材23—25页内容，回答问题（柱、锥、台表面积）<1>在初中，我们已经学习了正方体和长方体   的表面积，以及它们的展开图，你知道上  述几何体的展开图与其表面积的关系吗？<2>棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？<3>如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？<4>联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为 ，你计算出它的表面积吗？结论：<1>正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.<2>棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.<3>它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积s=2πr2+2πrl=2πr(r+l).圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积s=πr2+πrl=πr(r+l).<4>圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即. 思考：圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？练习一：完成教材例1、例2，体会例1、2所蕴含的解题技巧；‚完成教材第27页练习1；ƒ把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积是    .123【教学效果】：学生们的学习效果不错，对于圆台的表面积公式的推导，我做了这样的处理：只是提示推导过程，而没有在课堂上一步一步的推导.2、阅读教材第25—27页内容，回答问题（柱、锥、台体积）<5>回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一   种形式吗，并依次类比出柱体的体积公式吗？椎体呢？<6>比较柱体、锥体、台体的体积公式：v柱体=sh(s为底面积，h为   柱体的高)；v锥体= (s为底面积，h为锥体的高)；v台体    = h(s′,s分别为上、下底面积，h为台体的高).你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特   殊”形式？结论：<5>棱长为a的正方体的体积v=a3=a2a=sh；长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为v=abc=(ab)c=sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是v=πr2h=sh，可以类比，一般的柱体的体积也是v=sh，其中s是底面面积，h为柱体的高.圆锥的体积公式是v= (s为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的 .棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的 ,即棱锥的体积v=  (s为底面面积，h为高).由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的 .由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式v= (s′+ +s)h,其中s′，s分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.<6>柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当s′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当s′=s时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.    柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图：

练习二：完成教材26页例3，体会例3中蕴含的解题技巧；‚完成教材27页练习2；ƒ把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积；已知三棱锥o-abc中，oa、ob、oc两两垂直，oc=1，oa=x，ob=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是      ；④已知正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上下底面边长分别是2cm和4cm，侧棱长是 cm，试求该三棱台的表面积与体积；④：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为        （根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱pa⊥ab，pa⊥ac，ab⊥ac.结果：1/6)

【教学效果】：对于体积公式，推导过程比较繁琐，教材采取了直接给出的模式，教师不要过多的渗入推导，加重学生负担.123三、【作业】    1、必做题：教材第29页习题1.3a组第1、2、3题；    2、选做题：养路处建造圆锥形仓库用于存储食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；‚分别计算按这两种方案所建仓库的表面积；ƒ哪个方案更经济些？（比较表面积和体积，体积大、表面积好更实惠经济）.四、【小结】    这节课主要学习了柱体、锥体、台体的表面积和体积，学习完这节课之后要求学生们能达到熟练的应用公式解题的目的.五、【教学反思】这节课本来是一课时的内容，但是上课时发现一课时太紧凑，就分为了两课时来讲，第一课时讲表面积，第二课时讲体积.有时候课堂上是要求我们能二次备课、临时调整的，不能为了完成课时任务而增加教学量.对于这节课，学生们的学习效果还是不错的，但是这节课也出现了一些小小的问题.事情是这样的，课堂上一个好动的学生在我讲课的时候偷偷的说话，由于我在讲课，没有及时的制止，只是目光示意.等我讲到求三角形面积的时候，我说三角形的面积有三种求法，一种是根据两边和夹角的正弦来求面积，另一种是底乘高，那么另外一种是什么？这个同学说高乘底，我没有言语，当时心里面有点儿生气，但是后来他又说了一遍，班里面的同学有点儿笑，由于是课堂，这种现象是不应该出现的，但是我不想伤害学生的自尊心，就说底乘高和高乘底是一样的，这不能算作两种方法，就这样解了围.等我讲完课，还有将近十分钟的时间，我让学生做作业，或者往后面预习也可以，当我转到后面的时候这个同学问我：老师我做什么啊？我说：做作业啊！这个同学说我没有作业本了.我一听，有点儿蒙，说：昨天 不是刚发的作业本吗？这个同学说：我作业本刚刚交上了.由于昨天晚上学生们活动，所以有一部分同学的作业没有交，所以在讲完课的时候我把作业本收起来了.这时我说，你可以先往后面预习一下，这个同学拿出课本，说：预习什么？我有点儿发火，但是没有流露出来，道：往后面预习，预习体积.这个同学坐下了，这时有同学问题，正在给同学辅导，这个同学突然大声道：老师，我想去厕所！当时我一下子火了，把粉笔往地上一摔......其实自己心里面觉得很难受，不想发火，但是还是发火了.不找别人的原因，先找找自己的原因，我觉得恰当的处理应该是下课时找他谈一谈，但是我没有做到.或许这个同学这样做是为了引起老师的注意，并没有太大的恶意，而我却伤害了这个学生的自尊心；或许这个学生真的是想上厕所，没有什么恶意，但是我伤害了学生的自尊心.以前总以为自己是克制的最好的，但是还是没有克制住，这一点，我要汲取教训，不能再犯.以后，我要汲取这个教训，一定不能伤害学生的自尊心.可以说，这一节课因为这一个发火，一节本来成功的课，变成了失败的课.很愧疚.123

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