反比例函数|反　函　数

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教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）

教学目标：1．了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系．2．会求一些简单函数的反函数．3．在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识．4．进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力．教学重点：求反函数的方法．教学难点：反函数的概念．教学过程：

教学活动

设计意图 一、创设情境，引入新课1．复习提问①函数的概念②y=f(x)中各变量的意义2．同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即s=vt和t= （其中速度v是常量），在s=vt　中位移s是时间t的函数；在t= 中，时间t是位移s的函数．在这种情况下，我们说t= 是函数s=vt的反函数．什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容．3．板书课题由实际问题引入新课，激发了学生学习兴趣，展示了教学目标．这样既可以拨去“反函数”这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性． 二、实例分析，组织探究1．问题组一：（用投影给出函数 与 ； 与 （ ）的图象）（1）这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什么关系？（生答： 与 的图像关于直线y=x对称； 与 （ ）的图象也关于直线y=x对称． 是求一个数立方的运算，而 是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算．同样， 与 （ ）也互为逆运算．）（2）由 ，已知y能否求x？（3） 是否是一个函数？它与 有何关系？（4） 与 有何联系？2．问题组二：（1）函数y=2x+1(x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)是否是同一函数？（2）函数 (x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)是否是同一函数？（3）函数  （ ）的定义域与函数 （ ）的值域有什么关系？3．渗透反函数的概念．（教师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点）从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培养学生抽象、概括的能力．通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在“最近发展区”设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础．三、师生互动，归纳定义1．（根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定义）函数y=f(x)(x∈a) 中，设它的值域为 c．我们根据这个函数中x,y的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = j (y) ．如果对于y在c中的任何一个值，通过x = j (y)，x在a中都有唯一的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量 y 的函数．这样的函数 x = j (y)(y ∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数.记作: ．考虑到“用 x表示自变量, y表示函数”的习惯，将 中的x与y对调写成 ．2．引导分析：1）反函数也是函数；2）对应法则为互逆运算；3）定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有反函数；4）函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数 x=f (y)的值域、定义域；5）函数y=f(x)与x=f (y)互为反函数；126）要理解好符号f ；7）交换变量x、y的原因．3．两次转换x、y的对应关系        

                         （原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的．）       4．函数与其反函数的关系

函数y=f(x)

函数

定义域

a

c

值    域

c

a四、应用解题，总结步骤1．（投影例题）【例1】求下列函数的反函数（1）y=3x-1       (2)y=x +1【例2】求函数 的反函数．（教师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤．）2．总结求函数反函数的步骤:1° 由y=f(x)反解出x=f (y)．2° 把x=f (y)中 x与y互换得 .3° 写出反函数 的定义域. （简记为：反解、互换、写出反函数的定义域）【例3】（1） 有没有反函数?（2） 的反函数是________．（3） (x<0)的反函数是__________．    在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数．在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握．    通过动画演示，表格对照，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解．通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力．   题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进．并体现了对定义的反思理解．学生思考练习，师生共同分析纠正．五、巩固强化，评价反馈1．已知函数 y=f(x)存在反函数，求它的反函数 y =f ( x)（1）y=-2x+3(x r)      （2）y=- (x r,且x )( 3 ) y= (x r,且x )2．已知函数f(x)= (x r,且x )存在反函数 ，求f (7)的值．五、反思小结，再度设疑　　本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步骤．互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么具有这样的特点呢？我们将在下节研究．（让学生谈一下本节课的学习体会，教师适时点拨）进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数．反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度．具体实践中可采取同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的积极性．“问题是数学的心脏”学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂．六、作业习题2.4　第1题，第2题进一步巩固所学的知识．

教学设计说明“问题是数学的心脏”．一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程．本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念．反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用了抽象的符号．由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念．为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是数学研究的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成．另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用．通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维．使学生自然成为学习的主人．12

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