【数系的扩充和复数的概念教案】《数系的扩充》高中数学选修2—2教案

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【目标】
1. 了解实数系扩充的原因和过程，理解虚单位i的概念，理解复数代数形式、实部、虚部、纯虚数、虚数等概念；
2. 理解复数相等概念，了解复数系与实数系的关系；
3. 感受数系的扩充和复数的诞生都是人类思想的创新和大解放，每次都引发对自然界更深层次的认识，推动了科学的进步.
【重点】 复数的诞生及其概念. 复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等.
【难点】．虚单位i 的的概念. 虚单位i 的第二条性质.
【程序】
▲1.问题情境
问题1 自然数集n、整数集z、有理数集q. 实数集r之间有怎样的包含关系呢？
key:   n z，z q，q r,    总之 n   z   q   r,（数系扩充之意自见）.
接着问：这些数是怎样产生的？
key:  为了计数产生了自然数，
为了表示各种具有相反意义的量产生了负数；
为了测量等产生了分数
为了度量正方形对角线的长产生了无理数.
发现1：数集在按照某种“规则”不断扩充，（实践的需要、解决数学体系内部矛盾的推动）
数系与运算联系紧密，（数集无运算，犹无弓之箭；运算离开数系，犹如无米之炊）.
人们总希望数系中的运算能够在本数系中畅通无阻.
数系的每一次扩充的效果，是解决了在原有数集中某种运算受阻的矛盾，
负数解决了在正数集（如n）中不够减的矛盾，
分数解决了在整数中不能整除的矛盾，
无理数解决了开方开不尽的矛盾.

接着问：数系一般按照什么样的“规则”扩充？
key:   “规则”就是
在原有数系的基础上“添加”新的数.
▲2.实数系也面临着问题（内部矛盾）
数系扩到实数系r以后，因为没有一个实数的平方等于－1.
问题：这表明什么运算在实数系r中不能畅通无阻？（答：开方运算）
从方程的观点看，像x2=－1这样的方程在实数系r还是无解的.
让我们尝试来克服这个矛盾.
▲ 3.大胆类比、解放思想

评：自然数n中“添加”新数-1，就“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”.
在实数中引入了一个新数 ，也能取到这种效果吗？

▲4.严格定义、理清思路
我们引入一个新数 ，叫做虚数单位，并规定
(1)它的平方等于-1，即　 ; 
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

这就规定了虚数单位i的两条本质属性.

▲5. “添加”虚数单位，诞生新的数系
（1） i与实数相乘，得形如b i的数，当b≠0时，称b i为纯虚数. 这就“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”
（2） 形如b i的数与实数 相加，得形如 的数叫复数.
复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母c表示 　
 
复数通常用字母z表示，即 ，把复数表示成 的形式，叫做复数的代数形式
▲6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系
对于复数 ，
当且仅当b=0时，复数 是实数 ；
当b≠0时，复数 叫做虚数；
当b≠0且 =0时， 叫做纯虚数；
当且仅当 =b =0时，z= +b i就是实数0.
 

▲7.例题解析
例1请说出复数4，  0，  ，6 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
由学生回答：
例2 实数m取什么数值时，复数z= m （m-1）+(m－1)i是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？12
【分析】因为m∈r，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
(3)当m（m-1）=0，且m－1≠0时，即m=0时，复数z 是纯虚数.  
▲8. 复数相等的定义
  （2）相等的复数定义：设a，b，c，d∈r，a＋bi＝c＋di  .
若 ,   .
例3. 已知(x+y)+ (x －2y)i=(2x－5)+(3x +y)i，其中x，y∈r，求x与y的值.
解：根据复数相等的定义，得 ，所以x=3，y=－2
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
▲9.小结
通过在实数中引入虚单位 ,我们将实数集扩张成了复数集.
  1. 认识了虚单位i，i具有两条本质属性.
  2. 理解了实数集扩充到复数集的原因和过程.
   3. 知道了a＋bi成为实数、虚数、纯虚数的条件.
简单地说：
　  b＝0        a＋bi为实数；
　　b≠0        a＋bi为虚数；
　　b≠0，a＝0  a＋bi是纯虚数．
　　 ｛复数｝＝｛实数｝∪｛虚数｝
   4. 理解复数相等的定义.
▲10.作业
1.设计数集的文氏图，用它来表示实数、虚数、纯虚数等数集的包含关系.下面正确的是（  ）

 
2. a=0是复数z=a+bi为纯虚数的什么条件?
 答：必要非充分条件
3.  与－1的关系:  就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－ !　
4. 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？
答：实部是3.14，虚部是－2.
易错为：实部是－2，虚部是3.14！
5.复数集与其它数集之间的关系：n z q r c.

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