[球的体积和表面积公式]球的体积和表面积

【jiaoan.jxxyjl.com--高二数学教案】

课    型：新授课
一. 教学目标
1.知识与技能
⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
2.过程与方法
通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式ｖ＝ πr3和面积公式ｓ＝４πr2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
3.情感与价值观
通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
二. 教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三. 学法和教学用具
１． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
２． 教学用具：多媒体课件 
四. 教学设计
（一） 创设情景
⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（二） 探究新知
1．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：
第一步：分割
　如图：把半球的垂直于底面的半径ｏａ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为 ，底面是“小圆片”的底面。
如图：

得
第二步：求和
 
第三步：化为准确的和
　　当n→∞时，  →0  （同学们讨论得出）
所以   
得到定理：半径是ｒ的球的体积 
练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)
2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径r的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
      半径为r的球的表面积为    ｓ＝４πr2
     练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是           。 （答案50元）

（三）体积公式的实际应用：
例①：一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径. （钢密度7.9g/cm3）12
   讨论：如何求空心钢球的体积？
  → 列式计算  → 小结：体积应用问题.

② 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为r的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.

③ 探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的  ，球的表面积也是圆柱全面积的 .

五、课堂小结：
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。
六、作业：1、p28   练习1、2、3
2、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为           ，表面积比为           。
                                       （答案：   ；　3 ：1）
⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。  （答案：2500πcm2）

七、课后记：

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