[不等式的性质2]不等式的性质（2）

【jiaoan.jxxyjl.com--高二数学教案】

课    题：不等式的性质（2）

教学目的：

1 理解同向不等式，异向不等式概念；

2 理解不等式的性质定理1—3及其证明；

3 理解证明不等式的逻辑推理方法．

4 通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯

教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件

教学难点：1 理解定理1、定理2的证明，即“a＞b b＜a和a＞b，b＞c a＞c”的证明 这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则

2 定理3的推论，即“a＞b，c＞d a＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据 但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学方法:

引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用

教学过程：

一、复习引入：

1．判断两个实数大小的充要条件是：

2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?

(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?

从而引出不等式的性质及其证明方法．

二、讲解新课：

1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式 例如：a>b，c<d，是异向不等式

2．不等式的性质：

定理1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b．(对称性)

       即：a>b b<a；b<a a>b

证明：∵a>b ∴a-b>0

由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0

即b-a<0  ∴b<a     (定理的后半部分略) ．

点评：可能个别学生认为定理l没有必要证明，那么问题：若a>b，则 和 谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性 “实数a、b的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．

定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)

        即a>b，b>c a>c

证明：∵a>b，b>c  ∴a-b>0， b-c>0

    根据两个正数的和仍是正数，得

    (a-b)+( b-c)>0  即a -c>0

∴a>c

根据定理l，定理2还可以表示为：c<b，b<a c<a

点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形．

定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．

      即a>b a+c>b+c

证明：∵a>b，  ∴a-b>0，

       ∴(a+c)-( b+c)>0  即a+c>b+c

点评：(1)定理3的逆命题也成立；

(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)   

        即a>b， c>d a+c>b+d．

证法一：

a+c>b+d

证法二：

a+c>b+d123

点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；

三、讲解范例：

例 已知a>b，c<d，求证：a-c>b-d．(相减法则)

分析：思路一：证明“a－c＞b－d”，实际是根据已知条件比较a－c与b－d的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的

证法一：∵a＞b，c＜d

∵a－b＞0，d－c＞0

∴（a－c）－（b－d）

＝（a－b）＋（d－c）＞0(两个正数的和仍为正数)

故a－c＞b－d

思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的

证法二：∵c＜d    ∴－c＞－d

又∵a＞b

∴a＋（－c）＞b＋（－d）

∴a－c＞b－d

四、课堂练习：

1 判断下列命题的真假，并说明理由：

(1)如果a＞b，那么a－c＞b－c；

(2)如果a＞b，那么 ＞

分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真

答案：(1)真 因为推理符号定理3

(2)假 由不等式的基本性质2，3(初中)可知，当c＜0时， ＜ 即不等式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负

2 回答下列问题：

（1)如果a＞b，c＞d，能否断定a＋c与b＋d谁大谁小?举例说明；

(2)如果a＞b，c＞d，能否断定a－2c与b－2d谁大谁小?举例说明

答案：(1)不能断定 例如：2＞1，1＜3 2＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0 ８ 2－1＞1－0 ８ 异向不等式作加法没定论

(2)不能断定 例如a＞b，c＝1＞d＝－1 a－2c＝a－2，b＋2＝b－2d，其大小不定 a＝８＞1＝b时a－2c＝６＞b＋2＝3 而a＝2＞1＝b时a－2c＝0＜b＋2＝3

3 求证：(1)如果a＞b，c＞d，那么a－d＞b－c；

(2)如果a＞b，那么c－2a＜c－2b

证明：(1)

(2)a＞b －2a＜－2b c－2a＜c－2b

4 已和a＞b＞c＞d＞0，且 ，求证：a＋d＞b＋c

证明：∵

∴

∴（a－b）d＝（c－d）b

又∵a＞b＞c＞d＞0

∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且 ＞1

∴ ＞1

∴a－b＞c－d  即a＋d＞b＋c

评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速 这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧

五、小结 ：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a＞b b＜a＝、传递性(a＞b，b＞c a＞c)、可加性(a＞b a＋c＞b＋c)、加法法则（a＞b，c＞d a＋c＞b＋d），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法

六、课后作业：

1．如果 ，求不等式 同时成立的条件．

解：

2．已知 ，   求证：

证：∵      ∴

又∵     ∴ >0      ∴

∵       且

∴

3．已知   比较 与 的大小．

解： -   

当 时∵ 即

        ∴   ∴ <

当 时∵ 即 123

      ∴    ∴ >

4．如果   求证：

证：    ∵   ∴    ∴

     ∵   ∴    ∴

七、板书设计（略）

八、课后记：

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