[不等式的性质2]不等式的性质(2)
【jiaoan.jxxyjl.com--高二数学教案】
课 题:不等式的性质(2)
教学目的:
1 理解同向不等式,异向不等式概念;
2 理解不等式的性质定理1—3及其证明;
3 理解证明不等式的逻辑推理方法.
4 通过对不等式性质定理的掌握,培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯
教学重点:掌握不等式性质定理1、2、3及推论,注意每个定理的条件
教学难点:1 理解定理1、定理2的证明,即“a>b b<a和a>b,b>c a>c”的证明 这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则
2 定理3的推论,即“a>b,c>d a+c>b+d”是同向不等式相加法则的依据 但两个同向不等式的两边分别相减时,就不能得出一般结论
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学方法:
引导启发结合法——即在教师引导下,由学生利用已学过的有关知识,顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用
教学过程:
一、复习引入:
1.判断两个实数大小的充要条件是:
2.(1)如果甲的年龄大于乙的年龄,那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?
(2)如果甲的个子比乙高,乙的个子比丙高,那么甲的个子比丙高吗?为什么?
从而引出不等式的性质及其证明方法.
二、讲解新课:
1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:a>b,c>d,是同向不等式 异向不等式:两个不等号方向相反的不等式 例如:a>b,c<d,是异向不等式
2.不等式的性质:
定理1:如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b.(对称性)
即:a>b b<a;b<a a>b
证明:∵a>b ∴a-b>0
由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0
即b-a<0 ∴b<a (定理的后半部分略) .
点评:可能个别学生认为定理l没有必要证明,那么问题:若a>b,则 和 谁大?根据学生的错误来说明证明的必要性 “实数a、b的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础,本定理也称不等式的对称性.
定理2:如果a>b,且b>c,那么a>c.(传递性)
即a>b,b>c a>c
证明:∵a>b,b>c ∴a-b>0, b-c>0
根据两个正数的和仍是正数,得
(a-b)+( b-c)>0 即a -c>0
∴a>c
根据定理l,定理2还可以表示为:c<b,b<a c<a
点评:这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形.
定理3:如果a>b,那么a+c>b+c.
即a>b a+c>b+c
证明:∵a>b, ∴a-b>0,
∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c
点评:(1)定理3的逆命题也成立;
(2)利用定理3可以得出:如果a+b>c,那么a>c-b,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从—边移到另一边.
推论:如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.(相加法则)
即a>b, c>d a+c>b+d.
证法一:
a+c>b+d
证法二:
a+c>b+d123
点评:(1)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;
(2)两个同向不等式的两边分别相减时,不能作出一般的结论;
三、讲解范例:
例 已知a>b,c<d,求证:a-c>b-d.(相减法则)
分析:思路一:证明“a-c>b-d”,实际是根据已知条件比较a-c与b-d的大小,所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据,直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号,最后达到证题目的
证法一:∵a>b,c<d
∵a-b>0,d-c>0
∴(a-c)-(b-d)
=(a-b)+(d-c)>0(两个正数的和仍为正数)
故a-c>b-d
思路二:我们已熟悉不等式的性质中的定理1~定理3及推论,所以运用不等式的性质,加以变形,最后达到证明目的
证法二:∵c<d ∴-c>-d
又∵a>b
∴a+(-c)>b+(-d)
∴a-c>b-d
四、课堂练习:
1 判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)如果a>b,那么a-c>b-c;
(2)如果a>b,那么 >
分析:从不等式性质定理找依据,与性质定理相违的为假,与定理相符的为真
答案:(1)真 因为推理符号定理3
(2)假 由不等式的基本性质2,3(初中)可知,当c<0时, < 即不等式两边同乘以一个数,必须明确这个数的正负
2 回答下列问题:
(1)如果a>b,c>d,能否断定a+c与b+d谁大谁小?举例说明;
(2)如果a>b,c>d,能否断定a-2c与b-2d谁大谁小?举例说明
答案:(1)不能断定 例如:2>1,1<3 2+1<1+3;而2>1,-1<-0 8 2-1>1-0 8 异向不等式作加法没定论
(2)不能断定 例如a>b,c=1>d=-1 a-2c=a-2,b+2=b-2d,其大小不定 a=8>1=b时a-2c=6>b+2=3 而a=2>1=b时a-2c=0<b+2=3
3 求证:(1)如果a>b,c>d,那么a-d>b-c;
(2)如果a>b,那么c-2a<c-2b
证明:(1)
(2)a>b -2a<-2b c-2a<c-2b
4 已和a>b>c>d>0,且 ,求证:a+d>b+c
证明:∵
∴
∴(a-b)d=(c-d)b
又∵a>b>c>d>0
∴a-b>0,c-d>0,b>d>0且 >1
∴ >1
∴a-b>c-d 即a+d>b+c
评述:此题中,不等式性质和比例定理联合使用,使式子形与形之间的转换更迅速 这道题不仅有不等式性质应用的信息,更有比例的信息,因此这道题既要重视性质的运用技巧,也要重视比例定理的应用技巧
五、小结 :本节课我们学习了不等式的性质定理1~定理3及其推论,理解不等式性质的反对称性(a>b b<a=、传递性(a>b,b>c a>c)、可加性(a>b a+c>b+c)、加法法则(a>b,c>d a+c>b+d),并记住这些性质的条件,尤其是字母的符号及不等式的方向,要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法
六、课后作业:
1.如果 ,求不等式 同时成立的条件.
解:
2.已知 , 求证:
证:∵ ∴
又∵ ∴ >0 ∴
∵ 且
∴
3.已知 比较 与 的大小.
解: -
当 时∵ 即
∴ ∴ <
当 时∵ 即 123
∴ ∴ >
4.如果 求证:
证: ∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
七、板书设计(略)
八、课后记:
123-
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