【高二数学圆锥曲线定点定值】高二数学《圆锥曲线最值问题的求解》集体备课

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一 、定义法（最短路径）
对于求距离和的问题，要结合圆锥曲线自身的特点，巧妙地利用定义，解决距离的最值.
例1：已知抛物线 ，定点a(3,1)，f 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点 p,使|ap|+|pf|取最小值，并求的最小值。:
  分析：利用抛物线的定义把到点p到抛物线准线的距离转化成点p到焦点的距离，在利用三角形的知识求最小值. 由点a引准线的垂线，垂足q，则  |ap|+|pf|=|ap|+|pq|, 即为最小值。
o
f(1,0)  x
a(3,1)
y
 q     p
解： 如图， , 焦点f(1,0) 。  由点a引准线x=  -1的垂线 ，垂足q，则  |ap|+|pf|=|ap|+|pq|, 即为最小值. .
       
 由 ,  得为所求点.                               
                                              
 
                                          
若另取一点  ， 显然  。
 [点悟]：解此类最值问题时，首先注意圆锥曲线定义的转化应用，其次是平面几何知识的应用，例如两点之间的线段最短，三角形中的三边之间的不等关系，点与直线上的点的连线的中垂线段最短等.
二 、参数法 
    利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。
例2、已知椭圆 ，直线l： , 椭圆上有一动点p, 求p到直到直线的最小距离.
分析：写出椭圆参数方程 ，设切点为 ，然后代入点到直线的距离公式，结合三角函数的最值判断距离的最值.
 解：  由题意可设动点的坐标为，
则点p到直线l的距离为
 [点悟]  利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。
 三 、二次函数法
     将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解.
分析：求出椭圆的焦点，代入所求的表达式中，整理得出函数的表达式，再利用函数方法求解。
解：易知 ，所以 设
 因为 ，所以x=0, 即点p为短轴的端点时， 有最小值 -2.
当
[点悟] 把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。
 四 、数形结合
   在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，，利用平面几何知识求解，蕴涵了数形结合的思想。12
例4：若实数 .
分析：看似是函数求最值，如果做起来实在是不容易，如果考虑到x,y的几何意义，那么问题就简单的多了
解
则 ，
即 表示中心在
顶点坐标
的最大值
即是求表示椭圆上的点到c（-1，0）的距离的平方的最大值减1
所以
 [点悟] ：在解决求值问题时，应先从几何直观图形出发，根据图形的几何性质洞察最值出现的位置，再从代数运算入手，最终求的最值.
 五、不等式法
     列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。
例5 抛物线y2=4x的顶点为o，点a的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段oa相交(不经过点o或点a)且交抛物线于m、n两点，求△amn面积最大时直线l的方程，并求△amn的最大面积  
分析   直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 本例主要涉及弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.
 
解：由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0 
由方程组 ,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0    ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点m、n，
∴方程①的判别式δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)
设m(x1,y1),n(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|mn|=4 
点a到直线l的距离为d= 
∴s△=2(5+m) ,从而s△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2( )3=128 
∴s△≤8 ,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号 
故直线l的方程为y=x－1，△amn的最大面积为8 

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