圆的标准方程1001无标题|圆的标准方程(1)
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教学目标
(一)知识目标
1.掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径;
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标
1.进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力;
2. 通过教学,使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法,提高学生运算能力、逻辑思维能力;
3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习,培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。
(三)情感目标
通过运用圆的知识解决实际问题的学习,理解理论来源于实践,充分调动学生学习数学的热情,激发学生自主探究问题的兴趣,同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
教学重、难点
(一)教学重点
圆的标准方程的理解、掌握。
(二)教学难点
圆的标准方程的应用。
教学方法
选用引导―探究式的教学方法。
教学手段
借助多媒体进行辅助教学。
教学过程
ⅰ.复习提问、引入课题
师:前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑:如何求适合某种条件的点的轨迹?
生:①建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点m的坐标为(x,y);②写出适合某种条件p的点m的集合p={m ︳p(m)};③用坐标表示条件,列出方程f(x,y)=0;④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点(一般省略)。[多媒体演示]
师:这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程,今天我们来看圆这种曲线的方程。[给出标题]
师:前面我们曾证明过圆心在原点,半径为5的圆的方程:x2+y2=52 即x2+y2=25.
若半径发生变化,圆的方程又是怎样的?能否写出圆心在原点,半径为r的圆的方程?
生:x2+y2=r2.
师:你是怎样得到的?(引导启发)圆上的点满足什么条件?
生:圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即 ,亦即 x2+y2=r2.
师:x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊:圆心在原点,半径为r.有时圆心不在原点,若此圆的圆心移至c(a,b)点(如图),方程又是怎样的?
生:此圆是到点c(a,b)的距离等于半径r的点的集合,
由两点间的距离公式得
即:(x-a)2+(y-b)2= r2
ⅱ.讲授新课、尝试练习
师:方程(x-a)2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.
特别:当圆心在原点,半径为r时,圆的标准方程为:x2+y2=r2.
师:圆的标准方程由哪些量决定?
生:由圆心坐标(a,b)及半径r决定。
师:很好!实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见,要确定圆的方程,只需确定a、b、r这三个独立变量即可。
1、 写出下列各圆的标准方程:[多媒体演示]
① 圆心在原点,半径是3 :________________________
② 圆心在点c(3,4),半径是 :______________________123
③ 经过点p(5,1),圆心在点c(8,-3):_______________________
2、 变式题[多媒体演示]
① 求以c(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
答案:(x-1)2 + (y-3)2 =
② 已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。
答案: c(a,0), r=|a|
ⅲ.例题分析、巩固应用
师:下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.
[例1] 已知圆的方程是 x2+y2=17,求经过圆上一点p(,)的切线的方程。
师:你打算怎样求过p点的切线方程?
生:要求经过一点的直线方程,可利用直线的点斜式来求。
师: 斜率怎样求?
生:。。。。。。
师:已知条件有哪些?能利用吗?不妨结合图形来看看(如图)
生:切线与过切点的半径垂直,故斜率互为负倒数
半径op的斜率 k1=, 所以切线的斜率 k=-=-
所以所求切线方程:y-= -(x-)
即:x+y=17 (教师板书)
师:对照圆的方程x2+y2=17和经过点p(,)的切线方程x+y=17,你能作出怎样的猜想?
生:。。。。。。
师:由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点p(,)有何关系?
(若看不出来,再看一例)
[例1/] 圆的方程是x2+y2=13,求过此圆上一点(2,3)的切线方程。
答案:2x+3y=13 即:2x+3y-13=0
师:发现规律了吗?(学生纷纷举手回答)
生:分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y,便得到了切线方程。
师:若将已知条件中圆半径改为r,点改为圆上任一点(xo,yo),则结论将会发生怎样的变化?大胆地猜一猜!
生:xox+yoy=r2.
师:这个猜想对不对?若对,可否给出证明?
生:。。。。。。
[例2]已知圆的方程是 x2+y2=r2,求经过圆上一点p(xo,yo)的切线的方程。
解:如图(上一页),因为切线与过切点的半径垂直,故半径op的斜率与切线的斜率互为负倒数
∵半径op的斜率 k1=,∴切线的斜率 k=-=-
∴所求切线方程:y-yo= - (x-xo)
即:xox+yoy=xo2+yo2 亦即:xox+yoy=r2. (教师板书)
当点p在坐标轴上时,可以验证上面方程同样适用。
归纳总结:圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换,可得到切线方程
[例3]右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱a2p2的长度。(精确到0.01m)
引导学生分析,共同完成解答。
师生分析:①建系; ②设圆的标准方程(待定系数);③求系数(求出圆的标准方程);④利用方程求a2p2的长度。
解:以ab所在直线为x轴,o为坐标原点,建立如图所示的坐标系。则圆心在y轴上,设为
(0,b),半径为r,那么圆的方程是 x2+(y-b)2=r2.123
∵p(0,4),b(10,0)都在圆上,于是得到方程组:
解得:b=-10.5 ,r2=14.52
∴圆的方程为 x2+(y+10.5)2=14.52.
将p2的横坐标x=-2代入圆的标准方程
且取y>0
得:y=
≈14.36-10.5=3.86 (m)
答:支柱a2p2的长度约为3.86m。
ⅳ.课堂练习、课时小结
课本p77练习2,3
师:通过本节学习,要求大家掌握圆的标准方程,理解并掌握切线方程的探求过程和方法,能运用圆的方程解决实际问题.
ⅴ.问题延伸、课后作业
(一)若p(xo,yo)在圆(x-a)2+(y-b)2= r2上时,試求过p点的圆的切线方程。
课本p81习题7.7 : 1,2,3,4
(二)预习课本p77~p79
教学设计说明
设计思想:
在教学过程中,教师遵循数学发展规律,并依据建构主义教育理论,创设一系列数学实验环境,在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明,强调主动建构,从深层次加强学生对知识的感知度,使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。
设计理念:
设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与,课堂上建立平等、互助、融洽的关系,师生共同研究,共同提高。
设计思路:
本节课的设计与教材的呈现方式有所不同,教材只是教学的蓝本,教师在理解教材编写意图的基础上,应发挥主观能动作用,对教材资源进行再加工、再创造,这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合,也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此,本节在给出圆的标准方程的过程中,运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想,使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理,同时引导学生对照圆的几何形状,观察和欣赏圆的方程,体会数学中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点,设计三个例题。第一、二个例题,从特殊到一般给出切线方程,培养学生探究问题的兴趣,不断完善自己的认知结构。第三个例题,充分利用多媒体的动感演示,刺激学生的感官,引起更强的注意,从而使学生理解理论来源于实践,充分调动学生学习数学的热情,激发学生自主探究问题的兴趣,增强应用意识;同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”,让学生带着问题走进课堂,又带着问题走出课堂,激发学生不断求知、不断探索的欲望。
在整个教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来,教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境,一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会,激发学生求知的欲望,促使学生掌握知识,解决问题。
媒体设计:
采用powerpoint媒体。本节知识容量大,同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容,故采用演示文稿的方式,增加信息量,节省时间。同时动态演示图形,刺激学生的感官,引起更强的注意,提高课堂教学效率。
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