[方程的根与函数的零点教案]方程的根与函数的零点

高一数学教案 2015-03-02 网络整理 晴天

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第一课时: 3.1.1
教学要求:结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;掌握零点存在的判定条件.
教学重点:体会函数的零点与方程根之间的联系,掌握零点存在的判定条件.
教学难点:恰当的使用信息工具,探讨函数零点个数.
教学过程:
一、复习准备:
思考:一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系?
.二、讲授新课:
1、探讨函数零点与方程的根的关系:
① 探讨:方程x -2x-3=o 的根是什么?函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点?
方程x -2x+1=0的根是什么?函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点?
方程x -2x+3=0的根是什么?函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点?
② 根据以上探讨,让学生自己归纳并发现得出结论: → 推广到y=f(x)呢?
一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标.
③ 定义零点:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
④ 讨论:y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标的关系?
结论:方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
⑤ 练习:求下列函数的零点    ;  → 小结:二次函数零点情况
2、教学零点存在性定理及应用:
① 探究:作出 的图象,让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观察f(2)和f(0)的符号
②观察下面函数 的图象,在区间 上______(有/无)零点; • _____0(<或>). 在区间 上______(有/无)零点; • _____0(<或>). 在区间 上______(有/无)零点; • _____0(<或>).
③定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
④ 应用:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.  (试讨论一些函数值→分别用代数法、几何法)
⑤小结:函数零点的求法
代数法:求方程 的实数根;
几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
⑥ 练习:求函数 的零点所在区间.
3、小结:零点概念;零点、与x轴交点、方程的根的关系;零点存在性定理
三、巩固练习:1. p97, 1,题 2,题  (教师计算机演示,学生回答)
2. 求函数 的零点所在区间,并画出它的大致图象.
3. 求下列函数的零点: ; ; ;
   .
4. 已知 :(1) 为何值时,函数的图象与 轴有两个零点;
(2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 的值.
5. 作业:p102,  2题;p125  1题
第二课时: 3.1.2用二分法求方程的近似解
教学要求:根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
教学重点:用二分法求方程的近似解.
教学重点:恰当的使用信息工具.
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问:什么叫零点?零点的等价性? 零点存在性定理?12
零点概念:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
2. 探究:一元二次方程求根公式? 三次方程? 四次方程?
  材料:高次多项式方程公式解的探索史料:在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根公式,但对于高于4次的函数,类似的努力却一直没有成功,到了十九世纪,根据阿贝尔(abel)和伽罗瓦(galois)的研究,人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式,亦即,不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于3次和4次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法,这是一个在计算数学中十分重要的课题
二、讲授新课:
1. 教学二分法的思想及步骤:
① 出示例:有12个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出这个球的,要求次数越少越好. ( 让同学们自由发言,找出最好的办法)
解:第一次,两端各放六个球,低的那一端一定有重球
    第二次,两端各放三个球,低的那一端一定有重球
第三次,两端各放一个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球.
其实这就是一种二分法的思想,那什么叫二分法呢?
② 探究: 的零点所在区间?如何找出这个零点? → 师生用二分法探索
③ 定义二分法的概念:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)<0的函数y=f(x),通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)
④ 探究:给定精度ε,用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下:
a.确定区间 ,验证 ,给定精度ε;b. 求区间 的中点 ;
c. 计算 : 若 ,则 就是函数的零点; 若 ,则令 (此时零点 ); 若 ,则令 (此时零点 );
d. 判断是否达到精度ε;即若 ,则得到零点零点值a(或b);否则重复步骤2~4.
2. 教学例题:
① 出示例:借助计算器或计算机用二分法求方程2 +3x=7的近似解. (师生共练)
② 练习:求函数 的一个正数零点(精确到 )
3. 小结:二分法的概念, 二分法的步骤;注重二分法思想
三、巩固练习:1.  p100, 1,题 2,题; 2. 求方程 的解的个数及其大致所在区间.
3. 用二分法求 的近似值;  4. 求方程的实数解个数: ;
5. 作业:p102  3,4题, 阅读p105框图

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