[高一数学必修一函数的单调性的教学视频]人教版高一数学《函数的单调性判断》教案

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概念反思：
1.数学是一种工具：通过它可以很好的分析和解决问题。数学总是在不断的发明创造中去解决所遇到的问题。
2.为了研究自然界中量与量之间的变化关系发明了函数 …….同样为了进一步研究函数值的增减变化情况发明了单调性的概念……导数概念的发明使我们对函数性质的了解在单调性的基础上又更深入一步……增减变化的快慢.(图像的陡峭程度问题被数量化)
概念回顾:
函数单调性的定义
 
方法梳理:
1.函数单调性的判断及运用：
① 观察法：  同增异减.
② 导数法：在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减．
③ 图像法：变换
④ 用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x1，x2∈i，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间i上的增函数.
对于任意的两个数x1，x2∈i，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间i上的减函数.
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.
                                            
体验回顾:
1.下列说法正确的是       ．
1）定义在r上的函数 满足 ，则 为r上的单调增函数
2）定义在r上的函数 在 上是单调增函数，在 上是单调增函数，则 为r上的单调增函数
3）定义在r上的函数 在 上是单调减函数，在 上是单调减函数，则为r上的单调减函数
4）定义在r上的函数 满足 ，则 为r上不是单调减函数
2. 求下列函数的单调区间        ．
①. ；             ②.
3. 函数 的单调减区间是        ．
4.函数   ，单调区间        .
5.函数 的最小值是          . 
 
经典探究:
例: 已知函数 ,对于 上的任意 ,有如下条件：① ；② ；③ .其中是 的充分条件是          (将充分条件的序号都填上) ___________.  . ②,③

变式：已知函数  与 的定义域都是 ,值域分别是 与 ,在 上 是增函数而 是减函数,求证　分:  在 上为减函数.
　
变式：函数 在区间 上是单调 函数，求实数 的取值范围。

解：设 且 ，则
而 在 上是单调函数， 在 上恒正或恒负。
又 ，由 知只 有 符合题意，
 时， 在 上单减
变式：若函数f(x)＝4xx2＋1在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则m∈__________.
解析　∵f′(x)＝4(1－x2)(x2＋1)2，令f′(x)>0，得－1<x<1,
∴f(x)的增区间为(－1,1)．
又∵f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
∴m≥－1，2m＋1≤1，　∴－1≤m≤0.
∵区间(m,2m＋1)中2m＋1>m，∴m>－1.12
综上，－1<m≤0.
答案　(－1,0]
例:2 三个同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的范围”提出各自的解题思路：
甲说：只需不等式左边最小值不小于右边最大值。
乙说：把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数最值。
丙说：把不等式两边看成关于 的函数，作出函数的图像。
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 的范围是       
参考答案：解析一：两边同除以 ，则
当且仅当 ，两等式同时成立， 所以 时，右边取最小值10，
解析二：根据填空题特点，可用数值代入，推算 值
设 ，将 上函数值列表如下：
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
 
30 20.5 17.53 14.25 10 16.17 24.57 35.13 47.78 62.5 79.27
可推算 时， 取最小值10，
解析三：    
当 ， 
故  时， 取最小值10， 。（此法需用 结论）
命题意图与思路点拨：本题作为填空有效考查了学生探究能力与运算变换能力，以学生交流给出的语言作为解题参考，削减难度，探讨不等式恒成立的可能途径，充分考查学生利用函数思想处理恒成立不等式问题能力，题型别致。要重视变量分离方法在解题中的作用。
变式：当 时，函数 的最小值为              8

变式：关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的范围为__    ____      

变式：
变式：设 ，则函数( 的最小值是       .
课后拓展：
1.下列说法正确的有         (填序号)
①若 ，当 时， ，则 在i上是增函数.
②函数 在r上是增函数.
③函数 在定义域上是增函数.
④ 的单调区间是 .
2.若函数 的零点 ， ，则所有满足条件的 的和为?
3. 已知函数  ( 为实常数)．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 ，设 在区间 的最小值为 ，求 的表达式；
（3）设 ，若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围．
解析：(1)     2分
∴ 的单调增区间为( )，(- ,0), 的单调减区间为(- )，( ) 
(2)由于 ，当 ∈[1,2]时，
10      即    
 
20       即    
30       即 时    
综上可得   
(3)   在区间[1,2]上任取 、 ，且
则
     (*)
∵   ∴
∴(*)可转化为 对任意 、
即 
10  当
20         由   得     解得
30           得 
所以实数 的取值范围是

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