【基本作图】基本作图

【jiaoan.jxxyjl.com--高二数学教案】

教学目标 

1．熟练运用尺规完成四种，并会写出已知、求作和作法．

2．培养学生准确的数学语言表达能力．

教学重点和难点

重点是掌握四种；难点是用准确精练的几何语言叙述作图过程．

教学过程 设计

一、作图的预备知识

1．明确尺规作图和的含义．

教师应着重强调尺规作图与以前画图的区别，如解释以前角平分线，垂线、平行线的画法为什么不符合尺规作图的要求．

2．常用的作图语句的练习．

(1)如图1(a)，平面上有三点A，B，C，按下列要求完成作图：

①过点A，点B作直线AB(简称“作直线AB”)；

②作射线CA；

③延长BC到D，使 CD=BC；

④在线段BA上截取BH=BC；

⑤连结两点H，C(简称“连结HC”)．

答案见图1(b)．

(2)如图1(c)，按下列要求完成作图：

①以点D为圆心，AD为半径作弧交DC于E；

②分别以点B，C为圆心，DC为半径作弧，两弧交于点F，G．

以上为七种基本语句．

二、思考并实现四种

1．作一个角等于已知角．

(1)教师带领学生分析标题，分清已知、求作，并用数学符号表示．注意“求作”中先写出作什么图形，再写出它所需满足的条件．

已知∠AOB(如图2(a))．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．

(2)教师应启发学生思考作图的实现过程，注意以下几点：

①思路：利用全等三角形的判定方法来实现作图过程，将∠AOB放到△COD中(如图2(b))，利用“SAS”公理作出与△COD全等的△C′O′D′，从而得

到∠A′O′B′=∠AOB(如图2(c))．

②为简化作图过程，便于操作，可取△COD为等腰三角形，即在∠AOB的两边上截取OC=OD．更进一步地，可改造成尺规作图的语言，引导学生用简练的作图语句准确描述作图的实施过程．

(3)按照课本作法作图并证明．证明时要注意作图的作法中提供的边的条件．

以下几种都可仿照此步骤处理．

2．平分已知角．

已知：∠AOB(如图3)．

求作：∠AOB内部的射线OC，使∠AOC=∠COB．

(1)教师重点分析作法是怎样想出来的．

①借鉴Ⅰ的思路，画出符合条件的示意图，分析如何构造以∠AOC，

∠COB为元素的两个全等三角形．

答：用“SSS”构造△ODF与△OEF，其中OD=OE，F在OC上，DF=EF．

②分析如何用作图实现以上过程：

要使OD=OE，以O为圆心任意长为半径作弧即可；要确定∠AOB上一点F，使DF=EF，只要分别以D，E为圆心，特定长a为半径作弧，注意为保证两弧能有

(2)让学生整理思路，按课本作法作图并证明．

练习1 作平角∠AOB的平分线OC，并回答OC与直线AB有何关系？

练习2 如图4，已知：钝角∠MCN．

①求作∠MCN的平分线CF；

②在学生画出图4的基础上，求证ED⊥CF，CF平分DE．

3．经过一点作已知直线的垂线．

已知直线AB和一点C，求作AB的垂线，使它过点C．

注意以下几点：

(1)分析标题时，引导学生自发讨论已知点C与已知直线AB的位置关系(两种情况)．

(2)对于点C在直线AB上的情况，引导学生将新问题化归为已知情况——过直线AB上一点C平分平角∠ACB．

(3)当点C不在直线AB上时，引导学生由练习2的作法和证明结论来提炼出本题的作图方法：先确定D，E两点(注意书上选取K点的作用)，再确定F点(找F时所作弧的半径有特定条件)．

4．作线段的垂直平分线．

重点分析4与练习2的关系．

分析图4中的结论：CF垂直平分DE，要作DE的垂直平分线CF，只需确

三、四种的变式和复合练习

例1 用尺规按下列要求作图．(不写作法只画图)

(1)如图5，在∠AOD的内部作射线OB，使∠AOB=∠COD．

(2)作一个角的余角．

(3)把线段AB四等分．

(4)如图6，在钝角△ABC中，∠ABC为钝角．求作：

①△ABC中∠ACB的平分线CD；

②△ABC中BC边上的高AH；

③AC边的中垂线EF；

④AB边上的中线CG．

(5)如图7，已知直线AB和AB外一点C．求作：过C的直线CD∥AB．(提示：过C作直线l交AB于点E，在点C处作∠CEB的同位角(或内错角)，使它等

于∠CEB．)

四、师生共同小结

1．目前已学过的五种；

2．几种常用的作图语句；

3．尺规作图的基本步骤；

4．以后作图中再遇到五种时，不必再重复作图的详细过程，只需给出标题，如作线段的垂直平分线”．

五、作业 (略)

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成．

1．为了分散难点，便于学生用语言准确叙述本节课的，教师设计了预备知识这一部分，目的是让学生熟悉所要用到的常用作图语句，以及让学生自己分析思考如何用这些语句来解决本节的．

2．的分析过程要教给学生分析的方法，逐层实现目的，并要揭示四个分别“怎样想出来”和“为什么这样想”的思维过程，变学生“被动接受”为“主动探索发现”，更好地理解和掌握四种．

3．教师根据课时情况，可将第三部分的的部分练习题(如例1(1)，(4)①)插到1，2后．

4．本课在2后面设计了两个练习，目的是既巩固2的各种变式情况下的作图，又为3，4启发思路．实质上，作角平分线与作垂线和中垂线的方法相类似．

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