【等腰三角形的腰和底边的关系】等腰三角形

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14.3   课时安排4课时    从容说课    前面两节中，通过对生活中的轴对称现象的认识，进一步对轴对称的性质作了研究，还探讨了轴对称变换，能够作出一些简单的平面图形关于一条直线的对称图形，所以学生对这些结论已经有所了解．    本节在我们已学过的知识的基础上，进一步认识特殊的轴对称图形──等腰三角形，并探究等腰三角形的性质及等腰三角形的判定．在探究等腰三角形的相关问题时，再对等边三角形的相关内容进行深入探讨．    本节的重点是探索等腰三角形和等边三角形的性质及判定，并利用这些性质和判定求解相关的问题，进一步发展学生的数学思维．本节的重点同时也是本节的难点．教师在教学中，不可操之过急，应逐步引导，让学生去发现去探索这些性质，学生对它的理解要有一个过程，对它的应用也要慢慢去认识，并且在教学中要注意对学生数学思想的渗透以及分析问题、解决问题能力的培养．
§14．3．1．1  等腰三角形（一）第七课时    教学目标    （一）教学知识点    1．等腰三角形的概念．    2．等腰三角形的性质．    3．等腰三角形的概念及性质的应用．
    1．经历作（画）出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．
    2．探索并掌握等腰三角形的性质．    （三）情感与价值观要求    通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．    教学重点    1．等腰三角形的概念及性质．    2．等腰三角形性质的应用．    教学难点    等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．    教学方法    探究归纳法．    教具准备    师：多媒体课件、投影仪；    生：硬纸、剪刀．    教学过程    ⅰ．提出问题，创设情境    [师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
    [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
    [师]那什么样的三角形是轴对称图形？
    [生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．12345
    [师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
    ⅱ．导入新课
[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
         
    作一条直线l，在l上取点a，在l外取点b，作出点b关于直线l的对称点c，连结ab、bc、ca，则可得到一个等腰三角形．
    [生乙]在甲同学的做法中，a点可以取直线l上的任意一点．
    [师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本p138探究中的方法，剪出一个等腰三角形．
    ……
    [师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
    [师]有了上述概念，同学们来想一想．
    （演示课件）
    1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
    2．等腰三角形的两底角有什么关系？
    3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
    4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
    [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
    [师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
    [生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．
    [生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
    [生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．
    [生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．
    [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．
    [生齐声]它们是同一条直线．
    [师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．
    [生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．    [师]很好，大家看屏幕．（演示课件）12345    等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．    2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．    （投影仪演示学生证明过程）    [生甲]如右图，在△abc中，ab=ac，作底边bc的中线ad，因为
         所以△bad≌△cad（sss）．    所以∠b=∠c．    [生乙]如右图，在△abc中，ab=ac，作顶角∠bac的角平分线ad，因为         所以△bad≌△cad．    所以bd=cd，∠bda=∠cda= ∠bdc=90°．    [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△abc中，ab=ac，点d在ac上，且bd=bc=ad，求：△abc各角的度数．    [师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠a=∠abd，∠abc=∠c=∠bdc，再由∠bdc=∠a+∠abd，就可得到∠abc=∠c=∠bdc=2∠a．再由三角形内角和为180°，就可求出△abc的三个内角．    [师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠a设为x的话，那么∠abc、∠c都可以用x来表示，这样过程就更简捷．    （课件演示）    [例]因为ab=ac，bd=bc=ad，    所以∠abc=∠c=∠bdc．    ∠a=∠abd（等边对等角）．    设∠a=x，则    ∠bdc=∠a+∠abd=2x，    从而∠abc=∠c=∠bdc=2x．    于是在△abc中，有    ∠a+∠abc+∠c=x+2x+2x=180°，    解得x=36°．    在△abc中，∠a=35°，∠abc=∠c=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．    ⅲ．随堂练习    （一）课本p141练习 1、2、3．    练习
1．    如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．        答案：（1）72°  （2）30°2．    如右图，△abc是等腰直角三角形（ab=ac，∠bac=90°），ad是底边bc上的高，标出∠b、∠c、∠bad、∠dac的度数，图中有哪些相等线段？       答案：∠b=∠c=∠bad=∠dac=45°；ab=ac，bd=dc=ad．123453．    如右图，在△abc中，ab=ad=dc，∠bad=26°，求∠b和∠c的度数． 答：∠b=77°，∠c=38.5°．（二）阅读课本p138～p140，然后小结．    ⅳ．课时小结    这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．    ⅴ．课后作业    （一）课本p147─1、3、4、8题．    （二）1．预习课本p141～p143．    2．预习提纲：等腰三角形的判定．    ⅵ．活动与探究
    如右图，在△abc中，过c作∠bac的平分线ad的垂线，垂足为d，de∥ab交ac于e．求证：ae=ce．     过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质．    结果：    证明：延长cd交ab的延长线于p，如右图，在△adp和△adc中         ∴△adp≌△adc．∴∠p=∠acd．    又∵de∥ap，    ∴∠4=∠p．    ∴∠4=∠acd．    ∴de=ec．    同理可证：ae=de．    ∴ae=ce．    板书设计    §14．3．1．1  等腰三角形（一）    一、设计方案作出一个等腰三角形    二、等腰三角形性质    1．等边对等角    2．三线合一    三、例题分析    四、随堂练习    五、课时小结    六、课后作业    备课资料    参考练习    一、选择题    1．如果△abc是轴对称图形，则它的对称轴一定是（  ）      a．某一条边上的高;               b．某一条边上的中线      c．平分一角和这个角对边的直线;   d．某一个角的平分线    2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（  ）      a．80°    b．20°    c．80°和20°     d．80°或50°      答案：1．c   2．c12345二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．      求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得        2（x+2）+x=16．       解得x=4．   所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．12345

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