《方程的意义》教学实录与评析|《方程的意义》教学实录与评析

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教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》五年级上册第四单元第53~54页“方程的意义”。
教学目标：
1．借助生活情景理解方程的意义——用含有未知数的等式表示两件事情是等价的。
2．经历从生活情景到方程模型的建构过程，感受方程思想的核心之一，即建模。
3．培养学生观察、描述、分类、抽象、概括、应用等能力。
教学重点：准确从生活情景中提炼方程模型，然后用含有未知数的等式来表达，理解方程的意义。
教学难点：理解方程的意义，即用数学符号表示两件事情是等价的。
教学准备：flash课件，天平，不同质量的食物若干。
教学过程：
一、游戏引入，激发兴趣
师：今天，我们先来玩个游戏!这儿有13张扑克牌，分别代表1—13，你们从中任抽一张，不让老师看到，老师也能猜到你抽到的这张扑克牌是什么，谁愿意试试?
生：任抽一张(不让老师看见牌面)。
师：请将扑克牌代表的数先乘2，再加上3，再把所得的和乘5，最后减去25，看看结果是多少?
生算后报出结果，教师利用列方程快速求出结果，报出牌面的数字。待学生无限惊讶时，引导学生猜想：“老师怎么能这么快知道同学们手中的牌呢?”
生：你一定是倒推的，将得数加上25，除以5，减去3，再除以2。
师：你知道其中的秘密了，真了不起!老师能这么快知道你们抽的是什么牌，是因为数学王国的一位新朋友帮了我的忙，今天我们就能认识它。
[评析：用游戏的方式激起学生对方程的好奇心，激发学习本课的兴趣。本课最后一环节的“游戏揭密”不仅沟通了数学活动之间的联系，更使学生初步体会到方程作为一种数学模型在解决实际问题中的价值。]
二、情景呈现，抽象模型
1．师：老师这有一台简易天平。关于天平．你们都了解些什么?
生1：天平可以称物体的质量；
生2：当天平两边物体的质量一样时，天平就平衡了。
师：(借助天平边演示边问)在天平的左盘放上两袋100克的食物，右盘放上一个200克的砝码，天平怎么样了?
生：平衡了。
师：会不会用一个数学式子来表示天平现在的状况?
生：100+100=200。
师：这么个简单的式子，能表示天平现在的状况?
生：能。
师：左边表示的是什么，右边表示的是什么?
生：左边表示食物的质量，右边表示砝码的质量。
师：(指着算式说)正因为食物的质量等于砝码的质量，所以天平平衡了。
2．师：将左盘的食物换成两袋30克的食物，天平还平衡了吗?
生：不平衡。
师：为什么?
生：因为两盘物体质量不相等。
师：谁能用个式子表示天平现在这种不平衡?
生：30+30<200。
3．师：是呀，因为两盘物体质量不相，所以天平就不平衡，那么，怎样才能使它平衡呢?
生1：可以在左盘加上一些物体。
生2：也可以换一个砝码。
师：你们这样做的目的都是为了什么?
生：使左右两盘物体的质量相等。
师：这儿有一袋小豆，它的质量不知道，我们可以怎么表示?
生：可以用字母表示、可以用x表示。
师将这袋x克的小豆加在轻的一端，让学生观察天平的状态并用式子表示。
生：60+x=200。
师：60+x表示的是什么?200表示的是什么?
生：60+x表示的是左盘物体的质量，200表示仍然是砝码的质量。
4．师出示一盒牛奶，告诉学生它的质量是275克，让学生猜想如果将它放在天平的左盘里会怎样?12345
提示学生用式子表示(275>200)，然后请一位同学将盒内的牛奶喝掉一些。
师：这盒学生奶被喝掉了多少克?
生：不知道x克，a克……
师：剩下的牛奶的质量可以怎么表示?
生：(275-x)克。
师：如果将剩下的牛奶放回天平左盘，天平可能会出现什么情况，又可以用什么式子表示呢?
生思维活跃，猜想出以下三种情况：可能平衡，用275-x=200表示；也可能是275-x>200，也就是说剩下的牛奶还是比砝码重。还可能是剩下的牛奶轻些，可以用275-x<200来表示。
师：同学们都理解了这些式子两边的含义，并用正确的符号连接起来。
三、引导分类，构建概念
1．师：刚才我们用了这么多的式子来描述天平的平衡情况。你能按天平的平衡情况将这些式子分分类吗?
(生讨论，师巡视)
组1：我们是按是否含有未知数来分的，将60+x =200，275-x=200，275-x=200,275-x<200分为一组，其余的分为一组。
组2：我们组将平衡的分为一类，大于200的分为一类，小于200的分为一类。
组3：我们和组2分的差不多，只是将平衡的分为一类，将不平衡的分为一类。
师拖放课件上的式子，按学生的汇报将不平衡的归到一起。
师：(指着含有等于号的式子)像这样的含有等于号的式子，数学上称之为等式。(板书：等式)其它的式子我们都称之为不等式。
[评析：等式是一个冰冷的数学概念，由于儿童的思维特点，对等式的理解需要借助具体的现实情境，如天平称物的状态。而此处教师的处理没有沟通学生具体情境与抽象概念之间的联系，学生难于体会等式的本质含义。]
师：观察这些等式，它们有什么不同的地方?
生：后两个含有字母。
师：这些字母表示——未知数。(板书：含有未知数)像这样的含有未知数的等式，我们称之为方程。今天这节课我们就是研究方程的意义。
[评析：从实际情景中列出等式和不等式，让学生用数学的符号把要说的话(两件事情等价)表达出来，使学生经历用数学的简洁方式表达生活现象的过程，不仅使学生初步感知了方程的表现形式，更渗透了建模思想。]
师：能说说什么叫方程?(生齐读概念)
师：联系刚才的操作，说说你对方程的理解。
生1：方程就是表示平衡。
生2：方程表示两边相等。
生3：方程还要含有未知数。
生4：方程是等式。
师：那么，方程和等式之间有什么关系呢?
生1：等式包含了方程。
生2：方程一定是等式。
师：如果画这样一示等式，那方程应该画在哪里?
生：应该画在里面。
(师完善韦恩图。)程的主要特征之一，明晰方程和等式之间的关系是本课的教学目标之一。如果教师能先让学生用自己喜欢的方式来表达等式与方程之间的关系，再通过集体探究得出一个大家一直认同的关系图，不但会使学生的思维出于一种激活状态，而且有利于学生在区分等式与方程的同时，提升思维能力。]
四、形式判断，加深认识
1．师：大家对方程有了一定的理解，在刚才的情景中，我们列出了两个方程。(指着黑板上已有的两个方程)，下面，大家根据自己对方程的理解任意写几个方程吧!
(生在练习纸上写，叫部分学生在黑板上写。)12345
2．师：同桌间互相检查一下，看大家列的都是方程吗?再看黑板上这几位同学写的。都是方程吗?
学生写的方程没有错误的，还出现了用不同字母表示未知数的方程，师引导学生一一进行判断。
师：大头儿子也写了两个式子，可是不小心被墨水给弄脏了，猜猜他原来列的是不是方程?
生：第一个一定是方程，第二个则不一 定。
师：同意吗?为什么?
生；从第一个没有被墨水弄脏的地方就可以看出它是等式并且含有未知数了，所以它一定是方程；而第二个则要看墨迹处的情况而定，如果墨迹处是未知数，则是方程，如果是6则只是一个等式。
师：(鼓掌)说得太好了!大家都明白了吗?
生：明白了。
[评析：此环节是本课的一个亮点。教师让学生根据自己对方程的理解任意写几个方程，不仅为检验学生对方程概念的理解，更为学生提供了一个开放的思考空间。学生不仅展示了学习的结果，感知了方程的多样性．同时在对自己所列方程的一一判断中．加深了对方程意义本质的理解。判断题的设置。让抽象的方程定义融入一种生动的思辨情境中，使学生在对“被墨迹掩盖了的式子是不是方程”的合理解释中，形成对方程外部特征的深刻印象。]
3．师：看来，大家对方程已经有了非常深刻的认识。方程的历史已经非常悠久了，我们一起去了解一下吧!(课件出示——方程“史话”) 方程历史的第一页是由古代埃及人和巴比伦人揭开的。据现存世界上最早的数学文献——埃及的林特草卷记载，早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。
中国人对方程的研究也有着悠久的历史。大约两千年前成书的《九章算术》中，就有专门以“方程”命名的一章，记载了用一组方程解决实际问题的方法。这不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。
在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们。一直到三百年前，法国的数学家笛卡尔第一个提倡用x、y、z等字母代表未知数，才形成了现在的方程。
师：随着数学的研究范围不断扩充，方程的作用也越来越重要。方程的类型也由简单到复杂不断地发展。但是，无论类型如何变化，各种各样的方程都是含有未知数的等式。很多以前用算术方法解起来很难的问题，用方程解起来就轻而易举呢。
『评析：精美课件所展示的一段简短的“方程史话”，既让学生了解到一种新知识产生与发展的过程，又沟通了数学与人类文明与进步的联系，凸现了数学的文化特征，学生的学习视野也由此而变得开阔起来。]
五、联系实际，巩固应用
1．师：下面咱们来玩个小游戏!这是用电脑模拟的天平，请把天平下方的材料拖放到天平上，要求大家看到天平的状况就能列出一个方程来。
由于电脑操作的原因，学生尝试多次，天平未出现平衡。
师：你觉得要让大家能列出方程来，关键要解决什么问题。
生：让天平平衡。
师：别着急，再试试。
生操作后出现情况①：左盘两个x克，一个20克，右盘一个50克。情况②：左盘两个x克，一个y克，一个50克，右盘z克。
师：能列出方程吗?
师：你们列出的方程是?(2x+20=50，x+y+50=z)12345
当学生列出方程后，师启发学生讲清等式的左边和右边分别表示什么?
生：分别表示两边物体的质量。
师：大家看，这个方程两边都含有未知数，这么复杂的方程都能列出来，大家真了不起。
2．师：其实，不单是天平的平衡问题，我们研究许多数学问题时，经常会发现其中的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之间有相等的关系，可以列出方程。
师：你能根据下面这两幅图中的数量关系快速列出方程吗?
生汇报：3x=36。
师：你是怎么想的?
生．3x表示的是三盒彩笔的总枝数，36也是表示的三盒彩笔的总枝数，所以我那样列。
师：有道理!第二幅图呢?
生l：60+x=200。
师：说说你的想法1 60+x表示的是什么，200表示的是什么?
生：60+x表示的是这条线段的长度，200也是表示这条线段的长度。
师：这个方程刚才出现过，(指黑板上已经列出的方程)同样一个方程．在这里表示的是长度相等，刚才表示的是什么?
生：质量相等。
师：你们能不能再举个例子，让大家也能列出一个这样的方程来呢?
生：李师傅一天加工60个零件，王师傅一天加工x个零件，他们一天共加工200个零件。
师：60+x=200能表示这位同学所说问题中的数量关系吗?
生：能!
师：这个方程又是表示什么相等?
生：李师傅一天加t的零件个数加上王师傅一天加工的零件个数等于他们一天加工的零件总个数。
师：看来，只要是涉及未知数的等量关系，都可以用方程表示。
[评析：方程的意义不在于方程概念本身，而在于方程的思想——用已知量的观点处理未知量，寻找等量关系，构造一种模型。教师力求让学生在同一种数学情境中寻找不同的等量关系，用相同的方程解释不同的数学情境，理解方程在右两边所表示的量的具体含义以及它们的相互关系，使学生在一种思辨的状态中体验到方程是表达等量关系的数学模型。]
3．师：大头儿子和小头爸爸在说些什么，我们一起去听听!
(播放课件)
师：你能从小头爸爸和大头儿子谈话中，选取一些信息列出方程吗?
(师收集几张练习纸，投影展示。)
师：我们来看这位同学的，列出了37-a=28这样一个方程，请这位同学说说你选择了哪几条信息，为什么这样列?
生：我根据爸爸今年37岁，儿子今年a岁，他们俩相差28岁列出的这个方程。爸爸的年龄减去儿子的年龄，就等于他们俩相差的年龄。
生：我想，a+28表示大头儿子的年龄加上28岁，也就是小头爸爸的年龄，而爸爸的年龄是37岁。
师：这里还有一位同学列的是a+28=37，37-28=a怎么想的?
生2：我是把爸爸的年龄减去他们相差的年龄，就是儿子的年龄了。
师：有道理!大家看看，这三个方程都是根据这一组信息列出的，像37—28=a这样的方程，和我们以前学的算术方法的思路是一样的，未知数没有参与运算，今后我们用方程解决实际问题时，一般不列这样的方程。
师：再看这位同学列出9-x=3这样一个方程。能说说你的想吗?
生1：9-x表示大头儿子给了爸爸x张扑克后自己有多少张，3就是爸爸的张数。
生2：我不同意，儿子给了爸爸x张后，爸爸应该增加了x张，不止3张了。我列的是9-x=3+x。
师：9-和3似分别表示的是儿子给了爸爸x张后两人扑克牌的张数，这时他们的张数才是一样多的。12345
师：还记得课开始的时候老师和你们玩的游戏吗?同学们第一次抽了一张牌。按照规定的方法计算后得到60，老师就是根据你们的计算过程和结果列出了一个方程(2x+3)×5-25---60，然后解出这个方程，从而快速判断出你们抽的牌是什么。至于怎么解方程，正是我们今后要研究的内容，相信大家有了今天的基础，大家一定会越来越喜欢“方程”这位朋友的!
[评析：列方程解决实际问题的关键就是寻找等量关系，这是教学的重点。也是学生学习的难点，在教学“方程的意义”时，利用具体的生活情境显示一些等量信息，其目的并非求得学生列出正确的方程，而是让学生体会什么是实际问题的等量关系，渗透寻找和利用等量关系的思想方法，为学生的后续学习作适当地铺垫。]
[总评：
方程是实际问题数量关系的一种模型，列方程解决问题是一种解决问题的思想方法。方程的概念、方程的思想已作为“代数”部分的重要内容出现在小学数学教学中。
“方程的意义”是代数知识的起始性知识，也是学生从算术思维飞跃到代数思维分析现实生活中数学问题数量关系的重要栽体。方程是用等式表示数量关系，它由已知数与未知数共同组成，表达相等关系是现象，揭示事件中最主要的数量关系是本质特征。教学“方程的意义”，并非让学生简单地认识方程的外形特征——“含有未知数的等式”，而是要让学生体会方程的本质特征。
儿童数概念的形成，必须经历一个数学化的过程，因此揭示“方程的意义”，必须借助于学生的日常生活经验，利用具体的问题情境去帮助学生寻找相应的等量关系，构建“方程”的概念。在本课例中，教师借助天平称物体的情境，引导学生观察：当两边物体的质量相等时，天平就会保持平衡：当天平两边物体质量不相等时，天平不平衡的现象，并运用代数式表达这一现象。理解等式的具体含义是学生学习方程的生长点，教师反复利用天平称物这一情境，并分析天平两端物体质量与天平是否平衡的关系，这样，便以鲜明的直观形象沟通了
“平衡”与“等式”的联系。在此基础上，教师鼓励学生“写出自己心目中的方程”，分析、评判每一个方程的合理性，并利用模拟天平设置一种“可以写成方程”的情景等数学活动，使学生对方程的特征认识有一种意识上的飞跃。创设一系列的具体问题情境让学生能够写出方程，这是多数数学教都会采用的巩固理解概念的手段，而本例中，教师更强调让学生说说情境里的等关系。分析方程的各个部分，解释方程具体含义，感受方程与日常生活的联系，会方程用数学符号抽象地表达了等量系，这就使得学生对方程的认识从表面向本质。]12345

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