【北师大四年级上册除法教学视频】北师大四年级上册《除法——中括号》教学实录与反思

【jiaoan.jxxyjl.com--小学四年级数学教案】

一、精彩两分钟
师：首先，有请今天的精彩两分钟！
生：同学们，我们都知道，平时我们用的数字叫“阿拉伯数字”是古代印度人发明的，后来传到阿拉伯，又从阿拉伯传到欧洲，欧洲人误以为是阿拉伯人发明的，就把它们叫做“阿拉伯数字”。
数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多。现在常用的有200多个，小学课本里就有10来种。它们都有一段有趣的经历，今天我给大家简单的介绍一下几个运算符号的来历。
加号曾经有好几种，现在通用"+"号。
"+"号是由拉丁文"et"("和"的意思)演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文"più"(加的意思)的第一个字母表示加，草为"μ"最后都变成了"+"号。
"-"号是从拉丁文"minus"("减"的意思)演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了"-"了。
也有人说，卖酒的商人用"-"表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在"-"上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个"+"号。
乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是"×"，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是"· "，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为："×"号象拉丁字母"x"，加以反对，而赞成用"· "号。 到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把"×"作为乘号。他认为"×"是"+"斜起来写，是另一种表示增加的符号。我就简要介绍到这儿，谢谢大家！
师：感谢这位同学带来的精彩！
二、课中研讨
1、游戏，感受中括号产生的必要
师：没想到，这么简单的数学符号，还都有一段不简单的身世！
下面，我们就用这些数学符号，来做一个小游戏，好吗？
添上适当的数学符号,使等式成立。
18 2 3 6 =18
生1：18除以2，再除以3，然后乘6。
生2：18×2÷3+6=18
生3：18×2-3×6
生（齐）：yes!
师：（故意地）咦，我怎么算不到18呢？18乘2等于36，36减3得33，33乘6，不等于18呀？
生1：不对，应该先算18乘2和3乘6，18乘2得36，3乘6得18，36减18就是18。
生2：加减乘除在一起，应该是先乘除，后加减。
师：原来如此！先加减后乘除是四则混合运算的一个法则。既然是法则，人人都要遵守，包括施老师。
那么，什么时候可以象排队一样，从前往后依次计算呢？
生：如果算式中只有加号和减号，那么谁在前就先算谁；如果只有乘号和除号，也是谁在前就先算谁。
师：是啊，同一个级别的，都是平等的，那就排着队来。
生：我还有两种方法：18÷2+3+6, 18÷(2×3÷6)。
（师生鼓掌）
师：还是这四个数，18，2，3，6，能让得数等于33吗？
生1：18除以2等于9，9乘3等于27，27+6等于33。
生2：我可以用刚才的第三个式子变一变：18×2-3的外面加上个括号，然后再……，（很不好意思地）我看错了。
（调整，变换，好方法！学生往往会以“成败论英雄”，因结果的错误而全盘否定，甚至因此而否定这位学生。这就需要教师通过适当的评价加以引导。遗憾的是我一时的无为失去了最佳的时机，因为随着后面生3的发言，学生关注的焦点已经转移。较好的做法是当时我就及时地介入：我很喜欢你的“变一变”，由原来的基础比从头想起要方便多了。咱们就用他的方法，顺着他的思路，再变一变，也许就能找到答案了）123456
生3：18×2+3-6
师：（出示：18÷2×3+6=33）
如果我把得数变成81，那么这个等式肯定是错误的，你有什么办法让这个等式成立吗？
（片刻之后）
生：在3+6的外面加上括号，就行了。
师：添上括号，怎么算到81的？
生：18除以2得9，3加6得9，九九八十一。
师：是的，（）是一个很特殊的数学符号，它可以改变运算顺序，（）里的必须先算。
（屏幕上的得数变成1）你能让这个算式的得数等于1吗？
生1：18除以2，再减去3加6的和。
生2：你这么说是不对的，如果是减的话，那就等于0了，应该是18除2，再除3加6的和。
生3：我想给你纠正一下，读“除以”而不是“除”。
生点头称是。
（听完课后，老师们笑着说我“还不如学生”。对生2的错误十分麻木，生3纠正之后我也没有任何反应。其实，不是不敏感，说实话，是我自己也不太喜欢这种乘、除以的很不对称的读法。记得当时费了好大的劲才保证自己不至于犯“科学性错误”。既然学生屡纠屡犯，何必再浪费多少时间呢？只要我们的交流在特定的语境下十分畅通没有任何误会，不就ok！还有，我认为到五年级时，学生学习了整除，知道“除”有另外的含义，相信也就不会随意借用了。不知这么想是否有一丝道理？）
师：这么变，倒是等于1了。但是，请看清要求：
生轻生地读要求：添上适当的数学符号，使等式成立。
师：是啊，不许改变，只许添加。
生1：18除以2乘3加6的积，后面再加一个括号。
师：把你的想法写下来，好吗？
生1在黑板上写下了：
18÷（2×（3+6）
生2：我觉得你写的不对！应该是：
（边说边来到黑板前修改成：18÷[2×（3+6）]）
师：（指着[ ]问）这是什么符号？你为什么不象刚才那位同学那样，继续用（），非要用这么一个新的符号？
生1：这是中括号，因为小括号外面还要加一个括号，就要用中括号了，如果再用小括号，就把原来的两个数给分开了。
生2：我认为不可以用小括号。因为，中括号的作用就是：首先要先算小括号里面的，再把中括号的数加、减、乘、除小括号里的，再用中括号外面的数加减乘除他。
生3：小括号外面就得用中括号，中括号外面就要用大括号了。
师：同学们知道的知识还真不少！
一开始，第一个同学在2×（3+6）的外面又添加了一个小括号，他的想法是完全正确的。但是，好多同学都给他提意见了，大家认为，小括号外面如果还要加一个括号的话，为了和（）区别开来，得换一种形式了。这样就产生了[]——中括号。就像衬衣外面就不再穿衬衣了，得穿外套。这样可以表示的更有层次，更清楚。 [ ]是代数的创始人--数学家魏治德首先发明并使用的。
（二合一的右括号，不正好说明了（）外加（）有道理，但读、写时却容易出错，容易引起各种误会。我却让他从指尖溜走了）
这个又有（），又有[ ]的算式，（）里的要先算，[ ]里的也要先算，到底按照什么顺序计算呢？
生：先算小括号里面的，再算中括号里面的。
师：是的，别看小括号“小”，但因为它在里边，就数它最厉害了，最先算的还是（）里的，然后才是[ ]里的。
说说，怎么算到1的？
生：先算小括号里的3+6得9，再算中括号里的2×9得18，最后18÷18就等于1。
师：刚才我们认识了[ ]，知道了含有[ ]的算式的运算顺序。说说下面三题的运算顺序，再算出得数。123456
90÷10+5×2
90÷（10+5）×2
90÷[（10+5）×2]
师：（算第2题的时候，有几个反应快的学生举起了手，生a第三次自己站起来抢着发言，师示意其坐下）稍等一下，可以把机会让一让吗？你看，同学们都在举手呢！你也不是小括号，对吧？
（算完之后）
师：比较一下，这三道题有什么相同的地方，又有什么不同的地方？你有什么想法？
生1：相同的地方，就是三道算式的数都一样。不同的地方是第一个算式没有括号，第二个算式有小括号，第三个算式既有小括号又有中括号。
生2：相同的地方还有都是除、加、乘。
生3：三道题的得数也不一样。我还发现，括号越多，得数越小。
师：数都一样，运算符号也都一样，唯一的区别就是括号的不同。括号不同，实质就是什么不同？
生（齐）：运算顺序不同。
师：运算顺序不同，得数也完全不一样。看来运算顺序非常重要。至于是不是像刚才那位同学发现的括号越多，得数就越小呢？同学们可以课后去研究。
（回头看看，学生的猜想是多么宝贵呀！可惜，我依然以真理的代言人自居，发自内心地蔑视学生的“幼稚可笑”想法。我的评价尽管还算含蓄，但我的语气和措辞无疑已经清晰表明了我的态度。在我的暗示下，很难想象，学生课后还真的会去“研究”，也许是长期“传道授业”的职业自律让我不敢在课堂留下一个问题！）
刚才的几道题尽管步骤不少，但数据很简单，所以，我们可以直接算出得数。但是，更多的时候，我们可没那么幸运，如果数据比较复杂，要有条理、有根据地把计算的过程表达出来，我们通常用什么形式？
生：脱式计算。
师：好的，看这道题360÷[（12+6）×5]，脱式计算，在课堂本上试着完成。
（师巡视，两分钟后，指名展示）
生1：
360÷[（12+6）×5]
= 12+6
= 18×5
= 360÷90
= 4
生（小声地）：错了！怎么这样啊！第一步360到哪儿去了？
师：我觉得你的想法好像没错，我能明白你每一步要做什么，同学们明白吗？
生2：我知道，他是想先算小括号里的12+6=18，再算中括号里的18×5得90，最后用360÷90就得4了。
师：是呀，顺序没错，计算也很细心，只是表达起来有点小问题！谁能帮帮他？
生3：脱式计算应该是这么做的：没有计算的都要抄下来，先算的不要抄，把得数写下来就行了。
生4：我想问问你：=是什么符号？
生1：（疑惑不解地）等号！
生4：对了，等号表示的是相等！你这么做，一会儿等于18，一会儿等于90，一会儿又等于4，就不相等了。
师：就是这个道理！为了保证每一步都相等，先算的我们就写出得数，没算的就要原封不动地抄下来。
（生1在黑板上写出了正确的过程。师注意到生1写得特别工整，等号都用直尺画。）
师：对了吗？（对！）生１真会学习！另外，我特别喜欢他画的等号！一位数学家认为，用两条平行且完全相等的线段来表示相等，是最恰当不过的了。他写的完全是数学家心目中的等号！
（全班学生给予生1热烈的掌声。）
生5：（实物投影展示：
360÷[（12+6）×5]
= 360÷（18×5）
= 360÷90
= 4 ）
我第一步把（）里的算完之后，就把[ ]改写成（ ）了。我有一个问题想问问大家：这里18×5的外面到底应该是保留[ ]还是改成 （ ）？
生6：我认为[ ]里已经没有（　）了，就应该把［　］改成（ ）。123456
生７：我认为应该保留［　］，因为（　）里已经算完了，您刚才还说，没算的要照抄吗？［　］也应该抄下来。
生８：我不同意！（　）外面才加［　］呢。我认为（　）里的算完以后，（　）都没了，［　］当然得改成（　）。
师：多少个同学同意改成（　）？（绝大多数同学举起了手）
你们的意见是（　）都没了，单独的［　］看上去很不舒服，就像没穿衬衣就穿外套一样？（学生点头认可）还有一些同学坚持保留［　］？（三四个同学举手）大家的意见不一致，这样，我们一起请教身边的老师！打开数学书，翻到７４页。看看书上是怎么写的？
生：（或兴奋或沮丧地）保留中括号！
师：其实，两种做法都完全正确！不过，我个人更喜欢保留中括号的那种。理由恰恰是因为这个看上去不太舒服的［　］，能够表达更多的信息：看到这个［　］，我就知道，它的上一步刚刚完成了（　）的运算，我还知道，下一步就要算［　］里的了。而且，这么写，不需要作任何的改变，所以也就不容易出错。我这么说，大家同意吗？
（记得在音乐里，４、７两个音因为不够稳定与和谐，所以往往不会作为结束音。但是在乐曲进程中，由于４、７两音的加入，反而能带来旋律的变化，使乐曲更丰富多样。从“不够舒服”走向“舒服”的脱式过程是否与其有异曲同工之妙？）
生：同意！
师：同意，我们就这么做！
现在，谁能完整地总结一下四则混合运算的顺序？
生：（略）
师：淘气特别喜欢刚刚学习的中括号，他在自己列的所有的算式里都加上了小括号、中括号。请你好好观察，看看哪些括号是可以去掉不要的？
［(36+24)÷15］- 18
24 ×［ 19- (2 × 6) ］
320 ÷［5 ×(26 - 18)］
15 ×［4 ×(12 + 22)］
学生小组讨论，后全班交流。（略）
师：该出手时才出手，简洁是数学永远追求的目标。
三、课后延伸
师：我再问大家一个问题：为什么要有[ ]？
生：因为（　）外面还要先算的部分，就要加［　］。
师：那么，有了[ ]以后，是不是所有的问题都解决了？
生：还要有大括号！
师：那么大括号之后呢？无休止的括号没有意义，生活中一般用到{}就够了。
计算机要做的运算常常非常复杂，而用计算机编写程序计算的时候，只用一种（），一层一层的往上套，是不是很有意思？
有兴趣的同学课后可以去查找相关的资料。

在不断的自我否定中实现超越——关于教学《中括号》的思考
北京第二实验小学 施银燕
朋友们说我和动画明星加菲猫有几分相像：别人说我懒惰，我辩解那是我在沉思：可能是性格的原因，我通常做的事是否定，否定自己也许会带来自卑，但正如阿德勒所言，自卑，能转化成超越的力量……
一、否定负面情感，从讨厌到喜欢
听起来好象有些矛盾：很喜欢数学，却讨厌计算——从学生到老师，这一点始终没有改变。大概是潜意识里从来不觉得计算的教或学需要多少智慧的投入，所以我上过的数十节大大小小的研究课、公开课、比赛课，没有一节是关于计算的。可是，小学数学中计算占很大的比重，我不得不和学生一起探讨着颇觉无聊又十分枯燥的所谓的算理，不得不让学生经历着从会到熟到精的重复艰苦的练习。由于我有意的渲染或无意的暗示，我的学生甚至都以讨厌计算为荣。英国的帕梅拉.利贝克在《儿童怎样学习数学》一书中所言：“对冗长乏味的计算产生厌恶恰恰是在数学上有天才的表现”一句话简直就说到我的心坎里去了。123456
然后，记不得是哪一期的小学数学教师上刊登的《白开水变茅台酒》，吴正宪老师“一个人加一个手指”的比喻生动形象地解释了“单位不同不能直接相加减”的道理。兴奋阅读之后不禁感慨：原来，计算课还可以这么上！然后，是去年听李烈老师即兴的《两位数乘两位数》，朴实的开始之后竟是那样牵动我们的心！平淡无奇的计算课让大师演绎得如此精彩，深深的触动了我！计算教学，不是不需要智慧，而是需要大智慧！
然后，听华应龙老师的一节随堂课《中括号》。那节课给我特别深的印象是学生的问题非常之多：许多在我看来都是非常小儿科的或者是毋庸置疑的问题，如“中括号脱下来应该是小括号还是仍然是中括号？” 便是一例。华老师却让学生充分地讨论、争论。随后，回到自己班，我发现在我看来幼稚的问题竟然是孩子普遍的困惑，只因我平日的不够民主让许多这样的问题永远浮不出水面。就是这些零星的想法，让我对《中括号》一课有了最初的兴趣。随后，我开始留意有关的数学史料，当我阅读了包括中括号在内的一个个数学符号从出生到被部分人频繁使用被另一部分人排斥直到最后被普遍认可的曲折艰难漫长的历史，那些原本在我眼里单调枯燥的数学符号顿时拥有了鲜活的生命！我开始喜欢上了他们。态度的大转变立刻带来了许多新奇的联想：四则混合运算的顺序规则像极了我们交通规则，“先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行”相当于“绿灯行红灯停”，（）[ ]不就相当于需要优先的急救车、消防车吗？圆滑的（），有型又款的[ ]不正对应着人们柔软的衬衣和挺括的西服吗？……这些未必合适的想法，使我对中括号这一教学内容越发地充满感情。
二、否定习惯做法，从模仿到创造
也许是人的惰性使然，我们并不知理在那里，我们却习惯了许多理所当然。受许多优秀教师、前辈、专家们的教学和参考教案的影响，我们对教学内容教学目标的理解是那么的一致，我们对某些教学细节的处理是那么的雷同！于是，我们的相互学习就成了copy，copy了多遍以后似乎成了经典成了颠扑不破的真理。只有不断的质疑习惯做法，在质疑中否定，或在质疑中获得更深刻地认识，才能走出模仿，走向创造。
为什么小括号外面再加一个括号就应该是中括号？看到一些参考教案为此给出了一大堆理由。可是我记得学计算机语言编程时，只用一层层嵌套的小括号也没有任何问题呀。请教了学计算机的朋友，的确如此。他还说因为计算机喜欢是简单重复，始终按照不变的规则工作。无论何种括号，作用无他只是优先。计算机每次都是自动的从左往右寻找第一个右括号，再回头寻找与之配对的最近的左括号。人不像机器那么机械，层层叠叠的小括号很容易会看错看漏写错写漏，不利于表达交流。据此，我认为中括号的使用只是为了表达得清晰有层次罢了。没学中括号时学生如果想到小括号外面加小括号本质上是对的，应该说是一个很好的创造。
为什么四则混合运算都需要脱式计算？班上从美国、加拿大转学回来的孩子都不懂这样的格式。这种格式有必要吗？只要学生掌握运算顺序，正确计算不就行了吗？回头再想是自己太偏执。数学强调的是有条理有根据的思考，脱式计算不就是有条理有根据的表达吗？所以，还是需要并且很重要。123456
为什么学生个个都知道中括号，个个都明白运算顺序，但当学生动笔计算时，格式上却有不少错误呢？比如：
360÷[（12+6）×5]
= 12+6
= 18×5
= 360÷90
= 4
“剖析错误应从中挖掘出深层的数学思想”（见《数学基础知识和基本技能的教学》一书）给我启发，这种错误产生的原因是学生只知道“=”为了得出结果，而忽视了“=”最根本的含义：表示相等。为了相等，在算式由复杂变简单的脱式过程中，始终需要注意的是没算的照抄，已经计算的用相等的的数代替。这样，是不是渗透了等量代换的思想？
添加括号，使等式成立是许多老师都熟悉的一个练习。可是，能不反过来，再安排一个练习，去掉不必要的括号？于是，就有了:
淘气特别喜欢刚刚学习的中括号，他在自己列的所有的算式里都加上了小括号、中括号。请你好好观察，看看哪些括号是可以去掉不要的？
［(36+24)÷15］- 18
24 ×［ 19- (2 × 6) ］
320 ÷［5 ×(26 - 18)］
15 ×［4 ×(12 + 22)］
去掉括号之后不改变运算顺序的，小括号去掉以后中括号得变成小括号的，尽管改变顺序但是根据运算定律得数不变的等等，括号的作用在一加一减的对比练习中得到了很好的突出。
三、否定得意之处，认识得以升华
“得意”往往凝聚着自己更多的心血，否定自己得意之处，是件非常痛苦的事，而认识，就在痛苦之后螺旋上升……
四则混合运算顺序是一个规定，这个规定背后有什么道理？
教学中括号，肯定要涉及四则混合运算的顺序。教参上只有简简单单的“让学生掌握四则混合运算的顺序”。为什么先乘除后加减？我首先想到的是规定，琢磨片刻之后认为乘法是求几个相同加数的和的简便运算，本质上是特殊的加法，把它改写成加法形式的话，自然而然的外面括号便已加上，比如说：3+2×4，其实就是3+（2+2+2+2），当时颇为自己找到真理而欣喜！但是，当我再次思考这个问题的时候，我却发现，我的想法完全是基于默认先乘除后加减的基础之上的！当我在网上查询时，看到台湾地区82版教材关于这部分的解释是“实际生活情境中先乘除后加减的比例远高于先加减后乘除的比例，统一规定先乘除后加减是为了括号使用的经济”，这一解释挺让人信服。这样的理由学生是很难理解的。这样，本来想提出一个问题（哪怕仅是存在问题银行也好）让学生持久地思考的想法，便随风而逝了。
新课程特别强调数学与生活的联系，可这方面做得特别好的北师大版教材在编这部分内容时，却没有任何生活，而是有些生硬地引入：“我在数学报上看到这样一道题：360÷ [（12+6）×5]”，这又是为什么呢？我猜想是编写者认为就解决实际问题而言，[ ]并非是必不可少的。完全可以分步列式，因为分步与综合也只是表达形式上的区别，没有高下之分。是不是体现了“淡化形式注重实质”的宗旨？不得而知。但是，这样的教学会不会让学生误认为只有数学书、数学考试中才会需要中括号的知识？我还是想在生活中寻找。我可不可以引入中括号，出现算式90÷ [（10+5）×2]以后，立即插入几个问题情境（为那几个情境，花费了不少功夫）让学生甄别选择看看那个问题是可以用刚才那个由中括号的算式解决的？我设想当学生逐一解释之后，让学生想一想，计算时还需要考虑刚才的具体情境吗？不管原来的情景如何丰富多样，一旦建立了算式这一模型之后，就可以暂时脱离具体情境。这不正好可以渗透数学建模的思想吗？然而，试讲时效果却很不好。首先，学生感知问题就花了不少时间，然后还为了一个围长方形的问题争论不休，三个条件这么简单哪用得着中括号呀？最后学生似懂非懂地认可了三个问题都可以用这同一个算式来解决之时，但是既无趣也无意义。再一想，那所谓的生活也是杜撰的“伪生活”，于是，我忍痛割爱。似乎又回到了起点，对教材的认识却更深刻了。

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