[2221是什么意思]22.2.1 直接开平方法

【jiaoan.jxxyjl.com--九年级数学教案】

教学内容
    运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．

    教学目标
    理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
    提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．

    重难点关键
    1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
    2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．

    教学过程

    一、复习引入
    学生活动：请同学们完成下列各题
    问题1．填空
    （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．

    问题2．如图，在△abc中，∠b=90°，点p从点b开始，沿ab边向点b以1cm/s的速度移动，点q从点b开始，沿bc边向点c以2cm/s的速度移动，如果ab=6cm，bc=12cm，p、q都从b点同时出发，几秒后△pbq的面积等于8cm2？

    老师点评：
    问题1：根据完全平方公式可得：（1）16  4；（2）4  2；（3）（ ）2   ．
    问题2：设x秒后△pbq的面积等于8cm2
    则pb=x，bq=2x
   依题意，得： x·2x=8
    x2=8
    根据平方根的意义，得x=±2
    即x1=2 ，x2=-2
    可以验证，2 和-2 都是方程 x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
    所以2 秒后△pbq的面积等于8cm2．

    二、探索新知
    上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2 ，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
    老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2
    即2t+1=2 ，2t+1=-2
    方程的两根为t1= - ，t2=- - 1234

    例1：解方程：x2+4x+4=1
    分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
    解：由已知，得：（x+2）2=1
    直接开平方，得：x+2=±1
    即x+2=1，x+2=-1
    所以，方程的两根x1=-1，x2=-3

    例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
    分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
    解：设每年人均住房面积增长率为x，
    则：10（1+x）2=14.4
    （1+x）2=1.44
    直接开平方，得1+x=±1.2
    即1+x=1.2，1+x=-1.2
    所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
    因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
    所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
    解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
    共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．

    三、应用拓展

    例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
    分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
    解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
    那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
    把（1+x）当成一个数，配方得：
    （1+x+ ）2=2.56，即（x+ ）2=2．56
    x+ =±1.6，即x+ =1.6，x+ =-1.6
    方程的根为x1=10%，x2=-3.1
    因为增长率为正数，
    所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．

    四、归纳小结
    本节课应掌握：
    由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=± 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± ，达到降次转化之目的．

    五、作业：

    一、选择题
    1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（  ）．
      a．p=4，q=2     b．p=4，q=-2     c．p=-4，q=2    d．p=-4，q=-21234
    2．方程3x2+9=0的根为（  ）．
      a．3      b．-3      c．±3     d．无实数根
    3．用配方法解方程x2- x+1=0正确的解法是（  ）．
      a．（x- ）2= ，x= ±
      b．（x- ）2=- ，原方程无解
      c．（x- ）2= ，x1= + ，x2=
      d．（x- ）2=1，x1= ，x2=-

    二、填空题
    1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
    2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
    3．如果a、b为实数，满足 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．

    三、综合提高题
    1．解关于x的方程（x+m）2=n．
    2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边*墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
    （1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
    （2）鸡场的面积能达到210m2吗？
    3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？

    答案:
    一、1．b  2．d  3．b
    二、1．±   2．9或-3  3．-8
    三、
    1．当n≥0时，x+m=± ，x1= -m，x2=- -m．当n<0时，无解
    2．
    （1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，
    依题意，得：x（40-2x）=180    
    整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+ ，x2=10- ；1234
    同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．

    （2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，

    b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．

    3．因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．

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