与圆有关的比例线段|和圆有关的比例线段

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教学建议
    1、教材分析
    (1)知识结构
    (2)重点、难点分析
    重点:相交弦定理及其推论,切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点,而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识,主要应用与圆有关的计算和证实.
    难点:正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多,学生轻易混淆.
    2、教学建议
    本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论,做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论,做例3.第3课时是习题课,讲例4并做有关的练3.
    (1)教师通过教学,组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题,逐步培养学生研究性学习意识,激发学生的学习热情;
    (2)在教学中,引导学生“观察——猜想——证实——应用”等学习,教师组织下,以学生为主体开展教学活动.
    第1课时:相交弦定理
    教学目标:
    1.理解相交弦定理及其推论,并初步会运用它们进行有关的简单证实和计算;
    2.学会作两条已知线段的比例中项;
    3.通过让学生自己发现问题,调动学生的思维积极性,培养学生发现问题的能力和探索精神;
    4.通过推论的推导,向学生渗透由一般到非凡的思想方法.
    教学重点:
    正确理解相交弦定理及其推论.
    教学难点:
    在定理的叙述和应用时,学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混,从而导致证实中发生错误,因此务必使学生清楚定理的提出和证实过程,了解是哪两个三角形相似,从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.
    教学活动设计
    (一)设置学习情境
    1、图形变换:(利用电脑使ab与cd弦变动)
    ①引导学生观察图形,发现规律:∠a=∠d,∠c=∠b.
    ②进一步得出:△apc∽△dpb.
    .
    ③假如将图形做些变换,去掉ac和bd,图中线段 pa,pb,pc,po之间的关系会发生变化吗?为什么?
    组织学生观察,并回答.
    2、证实:
    已知:弦ab和cd交于⊙o内一点p.
    求证:pa·pb=pc·pd.
    (a层学生要练习学生写出已知、求证、证实;b、c层学生在老师引导下完成)
    (证实略)
    (二)定理及推论
    1、相交弦定理: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
    结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理:在⊙o中;弦ab,cd相交于点p,那么pa·pb=pc·pd.
    2、从一般到非凡,发现结论.
    对两条相交弦的位置进行适当的调整,使其中一条是直径,并且它们互 相垂直如图,ab是直径,并且ab⊥cd于p.
    提问:根据相交弦定理,能得到什么结论? 1234
    指出:pc2=pa·pb.
    请学生用文字语言将这一结论叙述出来,假如叙述不完全、不准确.教师纠正,并板书.
    推论 假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
    3、深刻理解推论:由于圆是轴对称图形,上述结论又可叙述为:半圆上一点c向直径ab作垂线,垂足是p,则pc2=pa·pb.
    若再连结ac,bc,则在图中又出现了射影定理的基本图形,于是有:
    pc2=pa·pb ;ac2=ap·ab;cb2=bp·ab
    (三)应用、反思
    例1 已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段,第二条弦的长为32厘米,求第二条弦被交点分成的两段的长.
    引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.
    例2 已知:线段a,b.
    求作:线段c,使c2=ab.
    分析:这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式,因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆,仿照推论即可作出要求作的线段.
    作法:口述作法.
    反思:这个作图是作两已知线段的比例中项的问题,可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.
    练习1 如图,ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp=1厘米,求cd.
    变式练习:若ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp,dp的长度皆为整数.那么cd的长度是 多少?
    将条件隐化,增加难度,提高学生学习爱好
    练习2 如图,cd是⊙o的直径,ab⊥cd,垂足为p,ap=4厘米,pd=2厘米.求po的长.
    练习3 如图:在⊙o中,p是弦ab上一点,op⊥pc,pc 交⊙o于c. 求证:pc2=pa·pb
    引导学生分析:由ap·pb,联想到相交弦定理,于是想到延长 cp交⊙o于d,于是有pc·pd=pa·pb.又根据条件op⊥pc.易 证得pc=pd问题得证.
    (四)小结
    知识:相交弦定理及其推论;
    能力:作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;
    思想方法:学习了由一般到非凡(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.
    (五)作业
    教材p132中 9,10;p134中b组4(1).
    第2课时 切割线定理
    教学目标:
    1.把握切割线定理及其推论,并初步学会运用它们进行计算和证实;
    2.把握构造相似三角形证实切割线定理的方法与技巧,培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
    3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论,培养学生辩证唯物主义的观点.
    教学重点:
    理解切割线定理及其推论,它是以后学习中经常用到的重要定理.
    教学难点:
    定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.
    教学活动设计
    (一)提出问题
    1、引出问题:相交弦定理是两弦相交于圆内一点.假如两弦延长交于圆外一点p,那么该点到割线与圆交点的四条线段pa,pb,pc,pd的长之间有什么关系?(如图1)1234
    当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时,由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长pa,pb,pt之间又有什么关系?
    2、猜想:引导学生猜想出图中三条线段pt,pa,pb间的关系为pt2=pa·pb.
    3、证实:
    让学生根据图2写出已知、求证,并进行分析、证实猜想.
    分析:要证pt2=pa·pb, 可以证实,为此可证以 pa·pt为边的三角形与以pt,bp为边的三角形相似,于是考虑作辅助线tp,pb.(图3).轻易证实∠pta=∠b又∠p=∠p,因此△bpt∽△tpa,于是问题可证.
    4、引导学生用语言表达上述结论.
    切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
    (二)切割线定理的推论
    1、再提出问题:当pb、pd为两条割线时,线段pa,pb,pc,pd之间有什么关系?
    观察图4,提出猜想:pa·pb=pc·pd.
    2、组织学生用多种方法证实:
    方法一:要证pa·pb=pc·pd,可证此可证以pa,pc为边的三角形和以pd,pb为边的三角形相似,所以考虑作辅助线ac,bd,轻易证实∠pac=∠d,∠p=∠p,因此△pac∽△pdb. (如图4)
    方法二:要证,还可考虑证实以pa,pd为边的三角形和以pc、pb为边的三角形相似,所以考虑作辅助线ad、cb.轻易证实∠b=∠d,又∠p=∠p. 因此△pad∽△pcb.(如图5)
    方法三:引导学生再次观察图2,立即会发现.pt2=pa·pb,同时pt2=pc·pd,于是可以得出pa·pb=pc·pd.pa·pb=pc·pd
    推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(也叫做割线定理)
    (三)初步应用
    例1 已知:如图6,⊙o的割线pab交⊙o于点a和b,pa=6厘米,ab=8厘米, po=10.9厘米,求⊙o的半径.
    分析:由于po既不是⊙o的切线也不是割线,故须将po延长交⊙o于d,构成了圆的一条割线,而od又恰好是⊙o的半径,于是运用切割线定理的推论,问题得解.
    (解略)教师示范解题.
    例2 已知如图7,线段ab和⊙o交于点c,d,ac=bd,ae,bf分别切⊙o于点e,f,
    求证:ae=bf.
    分析:要证实的两条线段ae,bf均与⊙o相切,且从a、b 两点出发引的割线acd和bdc在同一直线上,且ac=bd,ad=bc. 因此它们的积相等,问题得证.
    学生自主完成,教师随时纠正学生解题过程中出现的错误,如ae2=ac·cd和bf2=bd·dc等.
    巩固练习:p128练习1、2题
    (四)小结
    知识:切割线定理及推论;
    能力:结合具体图形时,应能写出正确的等积式;
    方法:在证实切割线定理和推论时,所用的构造相似三角形的方法十分重要,应注重很好地把握.
    (五)作业教材p132中,11、12题.
    探究活动
    最佳射门位置1234
    国际足联规定法国世界杯决赛阶段,比赛场地长105米,宽68米,足球门宽7.32米,高2.44米,试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).
    分析与解 如图1所示.ab是足球门,点p是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置,即向p上方或下方移动,视角都变小,因此点p实际上是过a、b且与边线相切的圆的切点,如图1所示.即op是圆的切线,而ob是圆的割线.
    故 ,又 ,
    ob=30.34 7.32=37.66.
    op= (米).
    注:上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△bop可为任意角.1234

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