【第二十二章一元二次方程知识点】第二十二章“一元二次方程”简介

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课程教材研究所　田载今 一、教科书内容和课程学习目标

（一）教科书内容

本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）以及运用一元二次方程分析和解决实际问题.

全章共包括三节：

22．1 　一元二次方程

22．2 　降次

22．3 　实际问题与一元二次方程

22.1 节以实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念，并提出一元二次方程的根不唯一.这些概念是全章后续内容的基础.

22.2节讨论一元二次方程的基本解法，其中包括配方法、公式法和因式分解法等，这一节是全章的重点内容之一。本套教科书在本章之前的方程都是一次方程或可化为一次方程的分式方程，一元二次方程是首次出现的一次以上的方程。解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是“降次”。22.2节首先通过解比较简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比一边为完全平方形式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；有了配方法作基础，再讨论如何用配方法解一元二次方程的一般形式，就得到一元二次方程的求根公式，于是有了直接利用公式的公式法。本节最后讨论因式分解法解一元二次方程，这种解法要使方程的一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别令每个一次因式为0。这几种解法都是依降次的思想，将二次方程转化为一次方程，只是具体的降次手段有所不同。

22．3节安排了4个探究内容，结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题和匀变速运动。一元二次方程与许多实际问题都有联系，本节不是按照实际问题的类型分类和选材的，而是选取几个具有一定代表性的实际问题来进一步讨论如何建立和利用方程模型，重点在分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示，这种数学建模思想的体现与前面有关方程各章是一致的，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有新的发展，数学模型由一次方程或可以化为一次方程的分式方程变为一元二次方程。

本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活。这样安排的主要目的是：

1．反映客观世界与数学的密切联系；

2．加强对应用数学知识分析和解决实际问题的意识和能力的培养。

课程标准没有将一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）列为必学内容，因此本章也未在课文中安排有关内容。考虑到部分学有余力的学生可以进一步扩大对一元二次方程的认识，以及这个内容是比较重要的数学知识，教科书在选学栏目“观察与猜想”中安排了有关内容，希望能提供一些问题给部分学生去探究。

在本章小结中，教科书通过本章知识结构图和思考题，再次强调解一元二次方程与实际问题之间的联系，突出解一元二次方程的基本思路以及具体方法，这是本章的重点内容。

一元二次方程是本套初中数学教科书中所学习的最后一种方程，从某种意义上说，学习本章也具有对方程的学习进行总结的作用。

（二）本章知识结构框图

（三）课程学习目标

1．以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念；123

2．根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；

3．经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。

（四）课时安排

本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：

22．1 　一元二次方程 　　　　　　　　　　2课时

22．2 　降次 　　　　　　　　　　　　　　6课时

22．3 　实际问题与一元二次方程 　　　　　3课时

数学活动

小结 　　　　　　　　　　　　　　　　　　2课时

二、本章编写特点

本章教科书在编写中力图体现以下两个特点。

（一）重视一元二次方程与实际的联系，再次体现数学建模思想

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，这样的抽象是一个逐步深入的过程.方程是含有未知数的等式，它们表达了数量之间的相等关系。正如前面所学习过的其他方程，一元二次方程可以表达许多实际问题中包含的数量相等关系，因而也可以作为分析和解决这些问题的重要数学模型。从反映方程与实际问题的密切联系的角度看，本章与本套教科书前面有关方程的各章是一脉相承的，实际问题情境始终贯穿于本章之中。

如前所述，本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活。引言中的雕像问题是典型的黄金分割问题，本章内容由它说起，引出一个具体的一元二次方程，接着在22．1节又利用面积问题和体育比赛中的组合问题补充两个一元二次方程的具体例子，在这三个具体例子的基础上归纳出一元二次方程的定义及一般形式。这样编排可以反映一元二次方程及其有关概念是来源于现实世界的。

在22．2节讨论一元二次方程的解法时，教科书安排了问题1～3，它们都是比较简单的实际问题。这样编排可以反映讨论一元二次方程的解法是解决现实世界实际问题的客观需要，使学生感受到学习一元二次方程的解法可以解决许多实际问题。

在22．3节，教科书安排了探究1～4，它们是比前面出现的实际问题更复杂的实际问题，讨论这些问题是在前面学习的基础上拾级而上。这样编排可以结合本章内容再次体现数学建模思想，进一步加强利用一元二次方程分析解决实际问题能力的培养训练，提高学生应用数学知识于实际问题的兴趣和意识，从长远看这将有助于培养学生理论联系实际的意识和开拓创新精神.

本章结尾的小结中，再次以知识结构图的形式强化数学建模思想，表现实际问题和列、解一元二次方程的联系，这种概括起了画龙点睛的作用。

（二）重视一元二次方程的特殊性，突出解一元二次方程的基本策略以及解法中的关键步骤

在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），并且学习了可以化为一元一次方程的分式方程，他们对于解方程的基本思路（使方程逐步化为的形式）已经比较熟悉，按照这种思路可以继续考虑一元二次方程的解法。

一元二次方程与前面的方程相比，特点在于未知数的次数是2（二次），新的问题是如何将一元二次方程转化为已经会解的方程，即一次方程。从这个新问题入手，可以自然地引出解一元二次方程的基本策略和关键步骤。教科书分析问题时注意了体现出“降次” 是很自然、很合理地产生的，这是在原来已经认识了的解方程的基本思路基础上，结合一元二次方程的实际而得到的解决问题的基本策略。这样处理既突出了一元二次方程解法上的特点及其算理，又反映了一元二次方程与一元一次方程在解法上的内在联系。各种解法中能够创造条件实现降次的步骤（配方、开方、分解因式等）就是该解法的关键步骤，它们是落实降次的具体措施。123

教科书的第22.2节以“降次”为节名，其用意在于强调解一元二次方程的基本策略。在讨论各种具体解法时，教科书把重点放在分析方程的形式特征上，并结合这些特征提出具体的有针对性的解法，强调其中的关键步骤所起的重要作用，这些内容形成了课文的核心部分。

三、几个值得关注的问题

本章的主要内容包括一元二次方程的基本概念、基本解法、应用举例等，这些都是重要的基础知识，打好基础很重要，因此教学中应注意使学生切实掌握它们。此外，本章教学应特别关注以下问题。

（一）教学中应重视联系实际问题，加强对于数学建模思想的渗透

在本章的教学和学习中，应重视相关内容与实际的联系，可以选择一些适合一元二次方程内容而又接近本班学生生活的实际问题，结合这些问题展开教学的内容。要注意避免脱离任何实际问题单纯地讲述一元二次方程的内容，虽然这种纯数学的处理方法在数学体系内部并无问题，但是从教学角度看它具有局限性，不适合初中学生接受，也不利于全面地提高学生素质。总之，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出一元二次方程来自实际又服务于实际，加强对一元二次方程是解决现实问题的一种数学模型的反映。

对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系 “翻译”为一元二次方程。这里需要指出，正确地理解实际问题情境是完成这一工作的基础。因此，本章的教学不能是封闭于数学知识内部的，而应是联系实际问题的开放式的，同时在丰富的内容中不失提炼数学知识这个精髓，最终使学生掌握数学基础知识，提高数学基本技能和能力，并且能运用它们处理某些实际问题。

在本章的教学中，可以从多种角度表达和思考实际问题，例如借助图象、表格、式子等进行不同形式来描述问题，分析问题，发现其中的数量关系，并建立相应的一元二次方程模型。教学中还应使学生认识到数学方法解决问题的结果要接受实际检验，注意检验所得方程及其根的实际意义，进行必要的讨论，找出合乎实际的结果。

（二）教学中应结合一元二次方程的特点，从说理的角度讨论方程的解法

本章所讨论的对象是一元二次方程，它的特殊性是其未知数为二次，这是前所未见的。将面临的新问题转化为已经会解的老问题，是解决问题的基本思路。正因如此，将一元二次方程转化为一元一次方程，即“降次”，成为解一元二次方程的基本策略。这也是化归思想在解一元二次方程时的具体体现。教学中应从一元二次方程的特点入手，通过对比以前所学方程来分析一元二次的特殊性，分析一元二次方程解法的产生背景，使学生认识到降次是自然的、合理的，从而能顺利地接受它，并用它探究一元二次方程的具体解法，而不是死记硬背解法步骤。教学中应重视使学生明白各种解法的道理，结合探究解法再次体会化归思想在解方程时的指导作用，进而理解一元二次方程的具体解法的关键步骤及其算理，将已有对解方程的认识再继续加深和扩大。

教学中应反复指出学习一元二次方程的解法时要了解以下两点：

1．用配方法、因式分解法等解一元二次方程时，要通过适当的变形先使方程转化为一元一次方程，也就是使未知数从二次变为一次。一元二次方程的降次变形，是由一个二次方程得到两个一次方程，因此一个一元二次方程有两个根。.

2．配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程

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