[gbt22239-2019]22.2.3 公式法

【jiaoan.jxxyjl.com--九年级数学教案】

教学内容
    1．一元二次方程求根公式的推导过程；
    2．公式法的概念；
    3．利用公式法解一元二次方程．

    教学目标
    理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
    复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．

    重难点关键
    1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
    2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．

    教学过程
    一、复习引入
    （学生活动）用配方法解下列方程
    （1）6x2-7x+1=0   （2）4x2-3x=52
    （老师点评）  （1）移项，得：6x2-7x=-1
    二次项系数化为1，得：x2- x=-
    配方，得：x2- x+（ ）2=- +（ ）2
              （x- ）2=
    x- =±   x1= + = =1 
    x2=- + = =
    （2）略

    总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
    （1）移项；
    （2）化二次项系数为1；
    （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
    （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
    （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

    二、探索新知
    如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
    问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1= ，x2=
    分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．12345
    解：移项，得：ax2+bx=-c
    二次项系数化为1，得x2+ x=-
    配方，得：x2+ x+（ ）2=- +（ ）2
    即（x+ ）2=
    ∵b2-4ac≥0且4a2>0
    ∴ ≥0
    直接开平方，得：x+ =±
    即x=
    ∴x1= ，x2=
    由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
    （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根．
    （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
    （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
    （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．

    例1．用公式法解下列方程．
    （1）2x2-4x-1=0          （2）5x+2=3x2
    （3）（x-2）（3x-5）=0   （4）4x2-3x+1=0
    分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
    解：（1）a=2，b=-4，c=-1
    b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
    x=
    ∴x1= ，x2=
    （2）将方程化为一般形式
     3x2-5x-2=0
     a=3，b=-5，c=-2
     b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
    x=
    x1=2，x2=-
    （3）将方程化为一般形式
    3x2-11x+9=0
    a=3，b=-11，c=9
    b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
    ∴x=
    ∴x1= ，x2= 12345
    （3）a=4，b=-3，c=1
    b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0
    因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．

    三、应用拓展

    例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m-2）x-1=0提出了下列问题．
    （1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
    （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
    你能解决这个问题吗？
    分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
    （2）要使它为一元一次方程，必须满足:① 或② 或③
    解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
                               m2=1  m=±1
      当m=1时，m+1=1+1=2≠0
      当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
      ∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
      a=2，b=-1，c=-1
      b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
      x=
      x1=，x2=-
      因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- ．

    （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
    因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
    所以m=0满足题意．
    ②当m2+1=0，m不存在．
    ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
    所以m=-1也满足题意．
    当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
    解得：x=-1
    当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
    解得x=-
    因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=- ．

    四、归纳小结
    本节课应掌握：
    （1）求根公式的概念及其推导过程；
    （2）公式法的概念；
    （3）应用公式法解一元二次方程；
    （4）初步了解一元二次方程根的情况．12345

    五、作业

    一、选择题
    1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（  ）．
    a．x=      b．x=    c．x=      d．x=

    2．方程 x2+4 x+6 =0的根是（  ）．
    a．x1= ，x2=      b．x1=6，x2=     c．x1=2 ，x2=      d．x1=x2=-

    3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（  ）．
    a．4     b．-2     c．4或-2     d．-4或2

    二、填空题
    1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
    2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
    3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．

    三、综合提高题
    1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
    2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=- ，x1·x2= ；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
    3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过a千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过a千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 元收费．
    （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定a千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用a表示）
    （2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况

月份

用电量（千瓦时）

交电费总金额（元）

 3

       80

       25

 4

       45

       10

    根据上表数据，求电厂规定的a值为多少？

    答案:
    一、1．d  2．d  3．c
    二、1．x= ，b2-4ac≥0   2．4  3．-312345
    三、
    1．x= =a±│b│

    2．
    （1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1= ，x2=
         ∴x1+x2= =- ，x1·x2= · =
    （2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
        原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
        =x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）
        =0
    3．（1）超过部分电费=（90-a）· =- a2+ a （2）依题意，得：（80-a）· =15，a1=30（舍去），a2=50

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