[22247886在哪个地图出现过]22.2.4 判别一元二次方程根的情况

【jiaoan.jxxyjl.com--九年级数学教案】

教学内容
    用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．

    教学目标
    掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
    通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．

    重难点关键
    1．重点：b2-4ac>0 一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0 一元二次方程没有实根．
    2．难点与关键
    从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．

    教学过程
    一、复习引入
    （学生活动）用公式法解下列方程．
    （1）2x2-3x=0    （2）3x2-2 x+1=0    （3）4x2+x+1=0
    老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有实根

    二、探索新知
    从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
    求根公式：x= ，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义， 等于一个具体数，所以一元一次方程的x1= ≠x1= ，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义 =0，所以x1=x2= ，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
    因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1= ，x2= ．
    （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2= ．
    （3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．

    例1．不解方程，判定方程根的情况123
    （1）16x2+8x=-3    （2）9x2+6x+1=0
    （3）2x2-9x+8=0    （4）x2-7x-18=0
    分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
    解：（1）化为16x2+8x+3=0
    这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0
    所以，方程没有实数根．
    （2）a=9，b=6，c=1，
    b2-4ac=36-36=0，
    ∴方程有两个相等的实数根．
    （3）a=2，b=-9，c=8
    b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0
    ∴方程有两个不相等的实根．
    （4）a=1，b=-7，c=-18
    b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0
    ∴方程有两个不相等的实根．

    巩固练习
    不解方程判定下列方程根的情况:
    （1）x2+10x+26=0        （2）x2-x- =0
    （3）3x2+6x-5=0         （4）4x2-x+ =0
    （5）x2- x- =0    （6）4x2-6x=0
    （7）x（2x-4）=5-8x

    应用拓展
    例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
    分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
    解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
    ∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
    a<-2
    ∵ax+3>0即ax>-3
    ∴x<-
    ∴所求不等式的解集为x<-

    归纳小结
    本节课应掌握：
    b2-4ac>0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0  一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．

   作业:
    一、选择题
    1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（  ）．123
    a．∵b2-4ac=-8，∴方程有解
    b．∵b2-4ac=-8，∴方程无解
    c．∵b2-4ac=8，∴方程有解
    d．∵b2-4ac=8，∴方程无解

    2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（  ）．
    a．a=0     b．a=2或a=-2    c．a=2     d．a=2或a=0

    3．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（  ）．
    a．k≠2     b．k>2     c．k<2且k≠1    d．k为一切实数

    二、填空题
    1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．
    2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．
    3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）=0的根的情况是________．

    三、综合提高题
    1．不解方程，试判定下列方程根的情况．
    （1）2+5x=3x2    （2）x2-（1+2 ）x+ +4=0
    2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．
    3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．
    4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．

   答案:
   一、1．b  2．b  3．d
   二、1．p2-4q=0  2．有两个不等实根  3．有两个不等实根
   三、
   1．（1）化为3x2-5x-2=0  b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0，有两个不等实根．
      （2）b2-4ac=1+4 +12-4 -16=-3<0，没有实根．
   2．∵c<0  ∴b2-4×1×c>0，方程有两个不等的实根．
   3．b2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0，∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．
   4．设平均增长率为x， （1+x）2=720000000，即50（1+x）2=72  解得x=20%，∴年销售总额的平均增长率是20%．

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