[一次函数的应用]一次函数的应用

九年级数学教案 2016-02-26 网络整理 晴天

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课题    一次函数的应用

教学内容:

知识与技能:巩固所学的一次函数的定义、图象和性质.能够用一次函数的知识解决实际问题.

过程与方法:掌握用待定系数法求函数解析式的一般方法.

情感态度与价值观:继续渗透数形结合的数学思想.

教学重点和难点:

重点:用待定系数法求一次函数的解析式是本节课的重点.

难点:根据解析式中待定字母的取值研究函数图象在坐标系中的位置,要进行讨论,要运用数形结合的思想,是本节课的难点.

方法:探索式

教学过程

  一、复习提问

  1.什么是一次函数?确定一个一次函数需要几个因素?是哪几个?

  y=kx+b(k≠0)叫做关于x的一次函数,其中k和b为常数.这样在一次函数中,只要确定了k和b的值,那么这个一次函数也就随之确定了.可以说k和b是确定一次函数的两个因素.

   提这个问题是为使用待定系数法确定k和b的值做准备.

  2.已知一次函数y=2x+1,x取何值时,函数值y=3?

   令y=3,代入解析式,得3=2x+1,解得x=1.

  3.从“形”的角度说“直线y=3x+4经过点(-1,1)”,把它改为从“数”的角度来叙述.

  提这个问题的意义在于使同学们搞清“点在图象上”与“坐标满足解析式”是从“形”与“数”两个不同角度叙述的同一内容,是“数”与“形”的相互转化,是数形结合思想的体现.

  二、例题讲解

  例1 已知ab两地相距90千米.某人骑自行车由a地去b地,他平均时速为15千米.

  (1)求骑车人与终点b之间的距离y(千米)与出发时间x(小时)之间的函数关系;

  (2)画出函数图象:

   分析:在这个问题中有两个已知量.一个是两地之间的距离90千米,一个是骑车人的速度.而骑车人与终点的距离y及出发时间x则都是未知量.我们能否找到这两个已知量与两个未知量之间的等量关系呢?找到后还要把它写成函数的形式,即把y写在等号的左边,其他的量则写到等号的右边.

   :y与x之间的函数关系式为y=90-15x.

   分析:写到这里是否就写完了呢?还没有.我们知道一次函数的自变量取值范围是全体实数,而这个问题是实际问题,时间、距离都不会取负值,因此,有一个x的取值范围问题,请同学们想,x应在什么范围内取值?

   得出x的取值范围是 0≤x≤6

   然后取点画函数的图象.

   取x=0,得y=90,

   取x=6,得y=0.

   画点a(0,90),b(6,0),然后连线段ab即为所求.

  说明:由于函数图象是函数关系的反映,因此所画函数图象要与自变量取值范围相一致.本例中自变量x的取值范围是0≤x≤6,因此它的图象只是直线y=90-15x上的一条线段.

例2 为了保护学生视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为ycm,椅子的高度(不含靠背)为xcm,则y应是x的一次函数.下表列出两套符合条件的课桌椅的高度:

第一套

第二套

椅子的高度x(cm)

40

37

桌子的高度y(cm)

75

70.2

(1)  写出y与x之间的函数关系式.

(2)  现有一把高42cm 的椅子和一张高为78.2cm 的课桌,它们是否配套?通过计算说明.

例3 某地长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定质量的行李,若超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数,其图象如图所示.12

(1)写出y与x之间的函数解析式.

(2)旅客最多可以携带多少免费行李.

分析:(1)根据一次函数的图象可以求出两个交点的坐标,进而可以列方程组,求出k、b的值,得出函数解析式.         (2)根据函数图象与x轴的交点求出旅客可以携带免费行李质量.

例4 如图温度计上表示了摄氏温度与华氏温度之间的对应关系.

(1)       能否用函数解析式表示两者之间的关系?

(2)       若今天的气温是摄氏20度,那么华氏是多少度?

  三、小结

  这节课我们讲了三个例题,重点是用待定系数法求一次函数的解析式,画一次函数的图象以及数形结合的思想.

  待定系数法的主要步骤是:

  1.把某些未知的系数用字母表示;

  2.根据已知条件列出含有待定字母的方程或方程组.一般有几个待定字母应列几个方程;

  3.解方程或方程组求出待定字母的值,使问题得解.

  函数的解析式与它的图象是对应的,解析式的特点会影响到图象的位置,这种“数”与“形”的对应关系应该在函数的学习中逐渐加深理解.

  四、布置作业

  1.画出下列一次函数的图象:

  

    

  2.已知一个一次函数,当x=-4时,y=9,当x=6时,y=3.求x=1时y的值.

  3.已知一次函数的图象经过(3,2)和(-3,0)两点,求这个一次函数解析式并画出在-1≤x≤3内的函数图象.  

4.某工人生产一种零件,完成定额,每天收入28元,若超额生产一个零件则增加收入1.5元

(1)       写出该工人一天收入y(元)和超额生产零件x(个)之间的函数关系式

(2)       某日该工人超额生产了12个零件,这天他的实际收入是多少?

5. 全国每年都有大量的土地被沙漠吞没,改造沙漠保护土地资源已经成为一项十分重要和急迫的任务.某地区现在有土地面积100万km2,沙漠面积200万km2,土地沙漠化的变化情况如下图所示.

(i)如果不采取任何措施,那么到第5年底?该地区的沙漠面积将新增加多少万km2?

(ii)如果该地区沙漠面积继续按此形式发展那么从现在开始几年底后,该地区将丧失土地资源?

(iii)如果从现在开始采取植树造林措施,每年改造沙漠4万km2那么几年底该地区的沙漠面积能减少到176万km2?

12

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