二级等差数列|第一册等差数列
【jiaoan.jxxyjl.com--高一数学教案】
§3.2.1等差数列
目的:1.要求学生掌握等差数列的概念
2.等差数列的通项公式,并能用来解决有关问题。
重点:1.要证明数列{an}为等差数列,只要证明an+1-an等于常数即可(这里n≥1,且n∈N*)
2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d (n≥1,且n∈N*).
3.等到差中项:若a、A、b成等差数列,则A叫做a、b的等差中项,且
难点:等差数列“等差”的特点。公差是每一项(从第2项起)与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。
等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说,等差数列的首项和公差已知,那么,这个等差数列就确定了。
过程:
一、引导观察数列:4,5,6,7,8,9,10,……
3,0,-3,-6,……
, , , ,……
12,9,6,3,……
特点:从第二项起,每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”
二、得出等差数列的定义: (见P115)
注意:从第二项起,后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1.名称:AP 首项 公差
2.若 则该数列为常数列
3.寻求等差数列的通项公式:
由此归纳为 当 时 (成立)
注意: 1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数
2° 如果通项公式是关于 的一次函数,则该数列成AP
证明:若
它是以 为首项, 为公差的AP。
3° 公式中若 则数列递增, 则数列递减
4° 图象: 一条直线上的一群孤立点
三、例题: 注意在 中 , , , 四数中已知三个可以
求出另一个。
例1 (P115例一)
例2 (P116例二) 注意:该题用方程组求参数
例3 (P116例三) 此题可以看成应用题
四、 关于等差中项: 如果 成AP 则
证明:设公差为 ,则
∴
例4 《教学与测试》P77 例一:在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP,求此数列。
解一:∵ ∴ 是-1与7 的等差中项
∴ 又是-1与3的等差中项
∴
又是1与7的等差中项 ∴
解二:设 ∴
∴所求的数列为-1,1,3,5,7
五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1.定义法:即证明
例5、已知数列 的前 项和 ,求证数列 成等差数列,并求其首项、公差、通项公式。
解:
当 时
时 亦满足 ∴
首项
∴ 成AP且公差为6
2.中项法: 即利用中项公式,若 则 成AP。
例6 已知 , , 成AP,求证 , , 也成AP。
证明: ∵ , , 成AP
∴ 化简得:
=
∴ , , 也成AP
3.通项公式法:利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。
例7 设数列 其前 项和 ,问这个数列成AP吗?
解: 时 时
∵ ∴
∴ 数列 不成AP 但从第2项起成AP。
五、小结:等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法
六、作业 : P118 习题3.2 1-9
七、练习:
1.已知等差数列{an},(1)an=2n+3,求a1和d (2)a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及a100.
2.在数列{an}中,an=3n-1,试用定义证明{an}是等差数列,并求出其公差。
注:不能只计算a2-a1、、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。
3.在1和101中间插入三个数,使它们和这两个数组成等差数列,求插入的三个数。
4.在两个等差数列2,5,8,…与2,7,12,…中,求1到200内相同项的个数。
分析:本题可采用两种方法来解。
(1)用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发,根据
相同项,建立等式,结合整除性,寻找出相同项的通项。
(2)用等差数列的性质来求解。关键要抓住:两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的最小公倍数。
5.在数列{an}中, a1=1,an= ,(n≥2),其中Sn=a1+a2+…+an.证明数列是等
差数列,并求Sn。
分析:只要证明 (n≥2)为一个常数,只需将递推公式中的an转化
为Sn-Sn-1后再变形,便可达到目的。
6.已知数列{an}中,an-an-1=2(n≥2), 且a1=1,则这个数列的第10项为( )
A 18 B 19 C 20 D21
7.已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为( )
A 2n-5 B 2n+1 C 2n-3 D 2n-1
8.已知m、p为常数,设命题甲:a、b、c成等差数列;命题乙:ma+p、 mb+p 、mc+p
成等差数列,那么甲是乙的( )
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件
C 充要条件 D既不必要也不充分条件
9.(1)若等差数列{an}满足a5=b,a10=c(b≠c),则a15=
(2)首项为-12的等差数列从第8项开始为正数,则公差d的取值范围是
(3)在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是
10.已知a5=11,a8=5,求等差数列{an}的通项公式。
11.设数列{an}的前n项Sn=n2+2n+4(n∈N*)
(1) 写出这个数列的前三项a1,a2,a3;
(2) 证明:除去首项后所成的数列a2,a3,a4…是等差数列。
12.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,问它们有多少个共同的项?
13.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可以组成首项为 的等到差数列,求a+b 的值。
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