【平面向量】平面向量

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本章内容介绍
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.
本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）

第1课时
§2.1  平面向量的实际背景及基本概念
教学目标：
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学   法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教   具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、情景设置：
如图，老鼠由a向西北逃窜，猫在b处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线ac、猫追逐的路线bd实际上都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
  （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点o，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
  （三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母： ；
④向量 的大小――长度称为向量的模，记作| |.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.1234567891011121314151617
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
（四）理解和巩固：
    例1 书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

例3下列命题正确的是（    ）
a.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
b.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
c.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
d.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以a不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以b不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以ｄ不正确；对于c，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选c.
例4  如图，设o是正六边形abcdef的中心，分别写出图中与向量 、 、 相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（ ）
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量 与 是共线向量，则a、b、c、d四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形abcd是平行四边形当且仅当 ＝  1234567891011121314151617
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 、 在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图 与 共线，虽起点不同，但其终点却相同.
2．书本88页练习
三、小结 ：
1、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点.
四、课后作业：
    书本88页习题2.1第3、5题

（吴春霞）

第2课时
§2.2.1  向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
学   法：
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教   具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、设置情景：
1、 复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、 情景设置：
（1）某人从a到b，再从b按原方向到c，
   则两次的位移和：
（2）若上题改为从a到b，再从b按反方向到c，
   则两次的位移和：
（3）某车从a到b，再从b改变方向到c，
   则两次的位移和：
（4）船速为 ，水速为 ，则两速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点 ，作 ＝a， ＝ｂ，则向量 叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ ，规定：      a + 0-= 0 + a

探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量 与 不共线时， + 的方向不同向，且| + |<| |+| |；
（3）当 与 同向时，则 + 、 、 同向，且| + |=| |+| |，当 与 反向时，若| |>| |，则 + 的方向与 相同，且| + |=| |-| |；若| |<| |，则 + 的方向与 相同，且| +b|=| |-| |.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量 、 ，求作向量 + 1234567891011121314151617
   作法：在平面内取一点，作   ，则 .
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中 + 的结果与 + 是否相同？    验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
      ２）向量加法的交换律： + = +
５．向量加法的结合律：( + ) + = + ( + )
证：如图：使 ，  ， 
则( + ) + = ， + ( + ) =
∴( + ) + = + ( + )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（p94—95）略
练习：p95
四、小结 
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意：| + | ≤ | | + | |，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
p103第２、３题
六、板书设计（略）
七、备用习题
1、一艘船从a点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为 ，求水流的速度.
2、一艘船距对岸 ，以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从a点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 ，船的实际航行的速度的大小为 ，方向与水流间的夹角是 ，求 和 .
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是 km/h，最小是 km/h
５、已知两个力f1，f2的夹角是直角，且已知它们的合力f与f1的夹角是60 ，|f|=10n求f1和f2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

（吴春霞）
第3课时
§2.2.2  向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
学   法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.
教   具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
      向量加法的运算定律：
例：在四边形中，    .
解：
二、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.
     任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0
     如果a、b互为相反向量，则a = b，  b = a，  a + b = 0
  （3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
     即：a  b = a + (b)   求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法：
   向量的减法是向量加法的逆运算：1234567891011121314151617
   若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a  b
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量
   ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
         作法：在平面内取一点o，
               作 = a，   = b
               则 = a  b
               即a  b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
         注意：1 表示a  b.强调：差向量“箭头”指向被减数
               2用“相反向量”定义法作差向量，a  b = a + (b)
                 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.

4． 探究：
１） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b  a.

２）若a∥b， 如何作出a  b　？
三、 例题：
例一、（p９７  例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
      解：在平面上取一点o，作 = a，  = b，  = c，  = d，
          作 ，  ，   则 = ab，   = cd

例二、平行四边形 中， a， b，
用a、b表示向量 、 .
解：由平行四边形法则得：
    = a + b，  =   = ab
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a， b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵   对角线方向不同）
练习：ｐ98
四、 小结：向量减法的定义、作图法|
五、 作业：p103第4、５题
六、 板书设计（略）
七、 备用习题：
1.在△abc中，  =a，  =b，则 等于(   )
a.a+b           b.-a+(-b)        c.a-b           d.b-a
2.o为平行四边形abcd平面上的点，设 =a，  =b，  =c，   =d，则 a.a+b+c+d=0    b.a-b+c-d=0  c.a+b-c-d=0    d.a-b-c+d=0
３.如图，在四边形abcd中，根据图示填空：
a+b=     ，b+c=      ，c-d=       ，a+b+c-d=     .1234567891011121314151617
４、如图所示，o是四边形abcd内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b= ，c-d= ，并画出b-c和a+d.

（吴春霞）

2.3平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1 平面向量基本定理
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型：新授课
教    具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量 的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ |=|λ|| |；（2）λ>0时λ 与 方向相同；λ<0时λ 与 方向相反；λ=0时λ =
2．运算定律
结合律：λ(μ )=(λμ)  ；分配律：(λ+μ) =λ +μ ，  λ( + )=λ +λ      
3. 向量共线定理  向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ .
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2 .
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被 ， ， 唯一确定的数量
三、讲解范例：
例1 已知向量 ，   求作向量2.5 +3 .
例2  如图  abcd的两条对角线交于点m，且 = ， = ，用 ， 表示 ， ， 和                                                   
例3已知  abcd的两条对角线ac与bd交于e，o是任意一点，求证： + + + =4
例4（1）如图， ， 不共线， =t  (tr)用 ， 表示 .
 （2）设 不共线，点p在o、a、b所在的平面内，且 .求证：a、b、p三点共线.
例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数 与c共线.
四、课堂练习：
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有(  )
a.e1、e2一定平行                    
b.e1、e2的模相等
c.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈r)
d.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈r)
2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
a.不共线          b.共线      c.相等        d.无法确定1234567891011121314151617
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于(  )
a.3             b.-3          c.0          d.2
4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈r)，若c与b共线，则λ1=    .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).
五、小结（略） 
六、课后作业（略）：
七、板书设计（略）
八、课后记：
第5课时
§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
授课类型：新授课
教    具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被 ， ， 唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
   如图，在直角坐标系内，我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底.任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得
 …………○1
我们把 叫做向量 的（直角）坐标，记作
 …………○2
其中 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与 相等的向量的坐标也为 .
特别地， ， ， .
如图，在直角坐标平面内，以原点o为起点作 ，则点 的位置由 唯一确定.
设 ，则向量 的坐标 就是点 的坐标；反过来，点 的坐标 也就是向量 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若 ， ，则  ， 
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为 、 ，则  
即  ，同理可得 
（2） 若 ， ，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
 =  =( x2， y2)  (x1，y1)= (x2 x1， y2 y1)
（3）若 和实数 ，则 .
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为 、 ，则   ，即
三、讲解范例：
例1 已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，求 的坐标.
例2 已知 =(2，1)，  =(-3，4)，求 + ， - ，3 +4 的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为a(2， 1)， b(1， 3)， c(3， 4)，求点d的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为abcd时，由 得d1=(2， 2)
当平行四边形为acdb时，得d2=(4， 6)，当平行四边形为dacb时，得d3=(6， 0)1234567891011121314151617
例4已知三个力  (3， 4)，   (2， 5)，  (x， y)的合力 + + = ，求 的坐标.
解：由题设 + + =    得：(3， 4)+ (2， 5)+(x， y)=(0， 0)
即：     ∴     ∴ (5，1)
四、课堂练习：
1．若m(3， -2)  n(-5， -1) 且   ，  求p点的坐标
2．若a(0， 1)，  b(1， 2)，  c(3， 4) ， 则 2 =       .
3．已知：四点a(5， 1)， b(3， 4)，  c(1， 3)，  d(5， -3) ， 求证：四边形abcd是梯形.
五、小结（略） 
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
（王海）

第6课时
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教    具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底.任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得
把 叫做向量 的（直角）坐标，记作
其中 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标， 特别地， ， ， .
2．平面向量的坐标运算
若 ， ，
则  ，  ， .
若 ， ，则
二、讲解新课：
 ∥  (  )的充要条件是x1y2-x2y1=0
设 =(x1， y1) ， =(x2， y2)  其中  .
由 =λ 得， (x1， y1) =λ(x2， y2)       消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0， ∵    ∴x2， y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成        ∵x1， x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式： ∥  (  )
三、讲解范例：
例1已知 =(4，2)， =(6， y)，且 ∥ ，求y.
例2已知a(-1， -1)， b(1，3)， c(2，5)，试判断a，b，c三点之间的位置关系.
例3设点p是线段p1p2上的一点， p1、p2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1) 当点p是线段p1p2的中点时，求点p的坐标；
(2) 当点p是线段p1p2的一个三等分点时，求点p的坐标.
例4若向量 =(-1，x)与 =(-x， 2)共线且方向相同，求x
解：∵ =(-1，x)与 =(-x， 2) 共线   ∴(-1)×2- x•(-x)=0
   ∴x=±     ∵ 与 方向相同     ∴x=
  例5 已知a(-1， -1)， b(1，3)， c(1，5) ，d(2，7) ，向量 与 平行吗？直线ab与平行于直线cd吗？
    解：∵ =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4)  ，  =(2-1，7-5)=(1，2)
       又 ∵2×2-4×1=0     ∴ ∥
       又 ∵  =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ， =(2， 4)，2×4-2×60  ∴ 与 不平行1234567891011121314151617
       ∴a，b，c不共线     ∴ab与cd不重合       ∴ab∥cd
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（    ）
a.6            b.5            c.7            d.8
2.若a(x，-1)，b(1，3)，c(2，5)三点共线，则x的值为（    ）
a.-3           b.-1           c.1            d.3
3.若 =i+2j，  =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).  与 共线，则x、y的值可能分别为（   ）
a.1，2        b.2，2         c.3，2         d.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=           .
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为        .
6.已知□abcd四个顶点的坐标为a(5，7)，b(3，x)，c(2，3)，d(4，x)，则x=           .
五、小结 （略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
（王海）

§2.4平面向量的数量积
第7课时
一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教    具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
    本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
教学过程：
一、复习引入：
1． 向量共线定理  向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ .
2．平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2
3．平面向量的坐标表示
  分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底.任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得
把 叫做向量 的（直角）坐标，记作
4．平面向量的坐标运算1234567891011121314151617
若 ， ，则  ，  ， .
若 ， ，则
5． ∥  (  )的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．线段的定比分点及λ
  p1， p2是直线l上的两点，p是l上不同于p1， p2的任一点，存在实数λ，
使  =λ ，λ叫做点p分 所成的比，有三种情况：
λ>0(内分)      (外分) λ<0 (λ<-1)    ( 外分)λ<0  (-1<λ<0)
7. 定比分点坐标公式：
若点p１(x1，y1) ，ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且 ＝λ ，则点p的坐标为（ ），我们称λ为点p分 所成的比.
8. 点p的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时， 与 同向共线，这时称点p为 的内分点.
②当λ＜０( )时， 与 反向共线，这时称点p为 的外分点.
9.线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点o，设 ＝ａ， ＝ｂ，
可得 = .
10．力做的功：w = |f||s|cos，是f与s的夹角.
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作 ＝ａ， ＝ｂ，则∠ａｏｂ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝ 时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180
 
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“• ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc  a = c
   如右图：ab = |a||b|cos = |b||oa|，bc = |b||c|cos = |b||oa|
 ab = bc  但a  c
 (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)
                显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
3．“投影”的概念：作图
                       
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.1234567891011121314151617
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1  ea = ae =|a|cos
2  ab  ab = 0
3  当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4  cos =
5  |ab| ≤ |a||b|
三、讲解范例：
例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a•b.
例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)•(a-3b).
例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
例4 判断正误，并简要说明理由.
①ａ•0＝0；②0•ａ＝０；③0－ ＝ ；④｜ａ•ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ•ｂ≠０；⑥ａ•ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ•ｂ）с＝ａ（ｂ•с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0•ａ＝０；对于②：应有０•ａ＝0；
对于④：由数量积定义有｜ａ•ｂ｜＝｜ａ｜•｜ｂ｜•｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ•ｂ｜＝｜ａ｜•｜ｂ｜；
对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ•ｂ＝０；
对于⑥：由ａ•ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；
对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.
则ａ•ｂ＝（λс）•ｂ＝λ（с•ｂ）＝λ（ｂ•с），
∴（ａ•ｂ）•с＝λ（ｂ•с）с＝（ｂ•с）λс＝（ｂ•с）ａ
若ａ与с不共线，则(ａ•ｂ)с≠（ｂ•с）ａ.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ•ｂ.
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴ａ•ｂ＝｜ａ｜•｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ａ•ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，
∴ａ•ｂ＝０；
③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有
ａ•ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.
四、课堂练习：
1.已知|a|=1，|b|= ，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（    ）
a.60°         b.30°          c.135°         d.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为 ，那么向量m=a-4b的模为（   ）1234567891011121314151617
a.2            b.2           c.6            d.12
3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（    ）
a.充分但不必要条件               b.必要但不充分条件
c.充要条件                       d.既不充分也不必要条件
4.已知向量a、b的夹角为 ，|a|=2，|b|=1，则|a+b|•|a-b|=            .
5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a•b=           .
6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______.
7.已知|a|=1，|b|= ，(1)若a∥b，求a•b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.
8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.
9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.
五、小结（略） 
六、课后作业（略）
七、教学后记：
                                                                   （王海）

第8课时
二、平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教    具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
    启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质. 
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作 ＝ａ， ＝ｂ，则∠ａｏｂ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：作图
                        1234567891011121314151617
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1  ea = ae =|a|cos；    2  ab  ab = 0
3  当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4cos =  ；5|ab| ≤ |a||b|
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：a  b = b  a
证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos
 ∴a  b = b  a
2．数乘结合律：( a)b = (ab) = a( b)
证：若 > 0，( a)b = |a||b|cos，  (ab) = |a||b|cos，a( b) = |a||b|cos，
若 < 0，( a)b =| a||b|cos() =  |a||b|(cos) = |a||b|cos， (ab) = |a||b|cos，
a( b) =|a|| b|cos() =  |a||b|(cos) = |a||b|cos.
3．分配律：(a + b)c = ac + bc
  在平面内取一点o，作 = a，  = b， = c，  ∵a + b （即 ）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即   |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2
 ∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb     即：(a + b)c = ac + bc
说明：（1）一般地，(ａ•ｂ)с≠ａ（ｂ•с）
（2）ａ•с＝ｂ•с，с≠0 ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ•с＋ａ•ｄ＋ｂ•с＋ｂ•ｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ•ｂ＋ｂ２
三、讲解范例：
例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角.
解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0    ①
    (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0    ②
两式相减：2ab = b2
代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为，则cos =    ∴ = 601234567891011121314151617
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形abcd中， ， ， =
∴| |2=
而 =  ，
∴| |2=
∴| |2 + | |2 = 2 = 
例3 四边形abcd中， ＝ａ， ＝ｂ， ＝с， ＝ｄ，且ａ•ｂ＝ｂ•с＝с•ｄ＝ｄ•ａ，试问四边形abcd是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形abcd是矩形，这是因为：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａ•ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с•ｄ＋｜ｄ｜２
由于ａ•ｂ＝с•ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形abcd两组对边分别相等.
∴四边形abcd是平行四边形
另一方面，由ａ•ｂ＝ｂ•с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形abcd可得ａ＝－с，代入上式得ｂ•(2ａ)＝０，即ａ•ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即ab⊥bc.
综上所述，四边形abcd是矩形.
评述：(1)在四边形中， ， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
四、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是（   ）
a.向量的数量积满足交换律     b.向量的数量积满足分配律
c.向量的数量积满足结合律     d.a•b是一个实数
2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)•(a-3b)等于（    ）
a.72           b.-72           c.36        d.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+ b与a- b的位置关系为（    ）
a.平行         b.垂直       c.夹角为   d.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝          .
5.已知|a|=2，|b|=5，a•b=-3，则|a+b|=______，|a-b|=            .
6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝           .
五、小结（略） 
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
（王海）

第9课时
三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教    具：多媒体、实物投影仪1234567891011121314151617
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作 ＝ａ， ＝ｂ，则∠ａｏｂ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1  ea = ae =|a|cos；   2  ab  ab = 0
3  当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4  cos =  ；5|ab| ≤ |a||b|
5．平面向量数量积的运算律
交换律：a  b = b  a
数乘结合律：( a)b = (ab) = a( b)
分配律：(a + b)c = ac + bc
二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量 ， ，试用 和 的坐标表示 .
设 是 轴上的单位向量， 是 轴上的单位向量，那么 ，
所以 
又 ， ， ，所以 
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 
2. 平面内两点间的距离公式
八、 设 ，则 或 .
（2）如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 、 ，那么 (平面内两点间的距离公式)
九、 向量垂直的判定
设 ， ，则   
十、 两向量夹角的余弦（ ）  
cos = 
十一、 讲解范例：
十二、 设a = (5， 7)，b = (6， 4)，求a•b及a、b间的夹角θ(精确到1o)
例2 已知a(1， 2)，b(2， 3)，c(2， 5)，试判断△abc的形状，并给出证明.
例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x.
 解：设x = (t， s)，
   由     ∴x = (2， 3)
例4 已知a＝（１， ），b＝（ ＋１， －１），则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求a•b及｜a｜•｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１， ），b＝（ ＋１， －１）
有a•b＝ ＋１＋ （ －１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２ ．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和a(5， 2)为顶点作等腰直角△oab，使b = 90，求点b和向量 的坐标.
解：设b点坐标(x， y)，则 = (x， y)， = (x5， y2)
∵     ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x  2y = 0
又∵| | = | |   ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 291234567891011121314151617
由
∴b点坐标 或 ； = 或 
例6 在△abc中， =(2， 3)， =(1， k)，且△abc的一个内角为直角，
求k值.
解：当a = 90时，  = 0，∴2×1 +3×k = 0  ∴k =  
当b = 90时，  = 0， =  = (12， k3) = (1， k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0   ∴k =  
当c = 90时，  = 0，∴1 + k(k3) = 0   ∴k = 
十三、 课堂练习：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４a•b＝（    ）
a.23           b.57           c.63         d.83
2.已知a(1，2)，b(2，3)，c(-2，5)，则△abc为（    ）
a.直角三角形     b.锐角三角形  c.钝角三角形   d.不等边三角形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（    ）
a. 或          b. 或
c. 或       d. 或
4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)•(a-b)=        .
5.已知a(3，2)，b(-1，-1)，若点p(x，- )在线段ab的中垂线上，则x=     .
6.已知a(1，0)，b(3，1)，c(2，0)，且a= ，b= ，则a与b的夹角为      .
十四、 小结（略） 
十五、 课后作业（略）
十六、 板书设计（略）
十七、 课后记：
（王海）

第12课时
复习课
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：|| |-| |≤| ± |≤| |+| |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(| | +| | )=| － | +| + | .
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积）的概念， • =| || |cos =x x +y y 注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、典型例题
例1.对于任意非零向量 与 ，求证：｜｜ ｜-｜ ｜｜≤｜ ± ｜≤｜ ｜+｜ ｜
证明：(1)两个非零向量 与 不共线时， + 的方向与 ， 的方向都不同，并且｜ ｜-｜ ｜＜｜ ± ｜＜｜ ｜+｜ ｜
(3)两个非零向量 与 共线时，① 与 同向，则 + 的方向与 . 相同且｜ + ｜=｜ ｜＋｜ ｜.② 与 异向时，则 + 的方向与模较大的向量方向相同，设| |＞| |，则| + |=| |-| |.同理可证另一种情况也成立。1234567891011121314151617
例2 已知o为△abc内部一点，∠aob=150°，∠boc=90°，设 = ， = ， = ，
且| |=2，| |=1，|  |=3，用 与 表示       
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中 ,  是单位正交基底向量, 则b（0，1），c（-3，0），设a（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即a（1，- ），也就是 =   －  ,  = ，  =-3 所以-3 =3  + |即 =3 －3 
例3.下面5个命题：①| • |=| |•| |②( • ) =  •  ③ ⊥( － )，则 • = •   ④ • =0，则| + |=| － |⑤ • =0，则 = 或 = ，其中真命题是（  ）
a①②⑤  b ③④  c①③  d②④⑤
四、 巩固训练
1.下面5个命题中正确的有（   ）
① =   • = • ； ② • = •   = ；③ •（ + ）= • + • ；          ④ •（ • ）=（ • ）• ；    ⑤ .
a..①②⑤       b.①③⑤       c. ②③④        d. ①③
2.下列命题中，正确命题的个数为（ a ）
①若 与 是非零向量 ，且 与 共线时，则 与 必与 或 中之一方向相同；②若 为单位向量，且 ∥ 则 =| |   ③ • • =| |   ④若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；⑤若平面内四点a.b.c.d，必有 + = +
a    1  b   2    c   3    d   4
3.下列5个命题中正确的是            
①对于实数p,q和向量 ,若p =q 则p=q②对于向量 与 ，若| | =| | 则 = ③对于两个单位向量 与 ，若| + |=2则 = ④对于两个单位向量 与 ，若k = ，则 =
4.已知四边形abcd的顶点分别为a(2,1)，b(5,4)，c(2,7)，d(-1,4),求证：四边形abcd为正方形。

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