[平面向量的数量积及运算律ppt]平面向量的数量积及运算律（2）

【jiaoan.jxxyjl.com--高一数学教案】

教学目的：
1 掌握平面向量数量积运算规律；
2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 
教学重点：平面向量数量积及运算规律
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教    具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
    启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质  
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则∠ａｏｂ＝θ（０≤θ≤π）叫 与 的夹角
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作  ，即有   = | || |cos，
（０≤θ≤π） 并规定 与任何向量的数量积为0 
3．“投影”的概念：作图
              
定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | |
4．向量的数量积的几何意义：
数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积
5．两个向量的数量积的性质：
设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量
1   =   =| |cos；2       = 0
3当 与 同向时，   = | || |；当 与 反向时，   = | || |
 特别的   = | |2或
4cos =  ；5|  | ≤ | || |
6．判断下列各题正确与否：
1若  =  ，则对任一向量 ，有   = 0                 ( √ )
2若    ，则对任一非零向量 ，有    0             ( × )
3若    ，   = 0，则  =                           ( × )
4若   = 0，则  、 至少有一个为零                 ( × )
5若    ，   =   ，则  =                           ( × )1234
6若   =   ，则  =  当且仅当    时成立           ( × )
7对任意向量 、 、 ，有(  )    (  )               ( × )
8对任意向量 ，有 2 = | |2                           ( √ )
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：     =    
证：设 ， 夹角为，则     = | || |cos，     = | || |cos
 ∴     =    
2．数乘结合律：(  )  = (  ) =  (  )
证：若 > 0，(  )  = | || |cos，  (  ) = | || |cos， (  ) = | || |cos，
若 < 0，(  )  =|  || |cos() =  | || |(cos) = | || |cos，
 (  ) = | || |cos，
 (  ) =| ||  |cos() =  | || |(cos) = | || |cos
3．分配律：(  +  )  =  c +  
  在平面内取一点o，作 =  ,  =  ， = ，
  ∵  +   （即 ）在 方向上的投影等于 、 在 方向上的投影和，
    即   |  +  | cos = | | cos1 + | | cos2
 ∴|   | |  +  | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2
 ∴ (  +  ) =    +        即：(  +  ) =    +  
说明：（1）一般地，( • ) ≠ （ • ）
（2） • ＝ • ， ≠   ＝
（3）有如下常用性质： ２＝｜ ｜２，
（ ＋ ）（ ＋ ）＝ • ＋ • ＋ • ＋ •
( ＋ )２＝ ２＋２ • ＋ ２
三、讲解范例：
例1 已知 、 都是非零向量，且  + 3 与7   5 垂直，   4 与7   2 垂直，求 与 的夹角
解：由(  + 3 )(7   5 ) = 0  7 2 + 16   15 2 = 0    ①
    (   4 )(7   2 ) = 0  7 2  30   + 8 2 = 0    ②1234
两式相减：2   =  2
代入①或②得： 2 =  2
设 、 的夹角为，则cos =    ∴ = 60
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
解：如图： abcd中， ， ， =
∴| |2=
而 =   
∴| |2=
∴| |2 + | |2 = 2 = 
例3 四边形abcd中， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，且 • ＝ • ＝ • ＝ • ，试问四边形abcd是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量
解：四边形abcd是矩形，这是因为：
一方面：∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＋ ＝－（ ＋ ），∴( ＋ )２＝（ ＋ ）２
即｜ ｜２＋２ • ＋｜ ｜２＝｜ ｜２＋２ • ＋｜ ｜２
由于 • ＝ • ，
∴｜ ｜２＋｜ ｜２＝｜ ｜２＋｜ ｜２①
同理有｜ ｜２＋｜ ｜２＝｜ ｜２＋｜ ｜２②
由①②可得｜ ｜＝｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜即四边形abcd两组对边分别相等
∴四边形abcd是平行四边形
另一方面，由 • ＝ • ，有 （ － ）＝０，而由平行四边形abcd可得 ＝－ ，代入上式得 •(2 )＝０
即 • ＝０，∴ ⊥ 也即ab⊥bc
综上所述，四边形abcd是矩形
评述：(1)在四边形中， ， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即 ＋ ＋ ＋ ＝ ，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系
四、课堂练习：
1 下列叙述不正确的是（   ）
a 向量的数量积满足交换律     b 向量的数量积满足分配律
c 向量的数量积满足结合律     d  • 是一个实数
2 已知| |=6,| |=4, 与 的夹角为６０°，则( +2 )•( -3 )等于（    ）
a 72           b -72           c 36        d -36
3 | |=3,| |=4,向量 +  与 -  的位置关系为（    ）
a 平行         b 垂直        c 夹角为   d 不平行也不垂直
4 已知| |=3,| |=4,且 与 的夹角为150°，则( + )２＝          
5 已知| |=2,| |=5, • =-3,则| + |=______,| - |=            
6 设| |=3,| |=5,且 +λ 与 －λ 垂直，则λ＝           
参考答案：1 c  2 b  3 b  4 ２ ５ －１+2   5     6 ±
五、小结  通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题
六、课后作业
1 已知| |=1,| |= ,且( - )与 垂直，则 与 的夹角是（    ）1234
a 60°         b 30°          c 135°         d ４５°
2 已知| |=2,| |=1, 与 之间的夹角为 ，那么向量 ＝ -4 的模为（）
a 2            b 2           c 6            d 12
3 已知 、 是非零向量，则| |=| |是( + )与( - )垂直的（    ）
a 充分但不必要条件               b 必要但不充分条件
c 充要条件                          d 既不充分也不必要条件
4 已知向量 、 的夹角为 ，| |=2,| |=1,则| + |•| - |=     
5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么 • =           
6 已知 ⊥ 、 与 、 的夹角均为60°，且| |=1,| |=2,|  |=3,则( +2 - )２＝______
7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ∥ ,求 • ;(2)若 、 的夹角为６０°，求| + |；(3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角
8 设 、 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量 =2 + 与 =2 -3 的夹角 
9 对于两个非零向量 、 ，求使| +t |最小时的t值，并求此时 与 +t 的夹角
参考答案：1 d  2 b  3 c  4    5  –63   6  11
7 (1)-    (2)   (3)45° 8  120°  9  90°
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1 常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛
即( ＋ )２＝ ２＋２ • ＋ ２，（ － ）２＝ ２－２ • ＋ ２
上述两公式以及( ＋ )( － )＝ ２－ ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用
2 应用举例
例1 已知｜ ｜＝２，｜ ｜＝５， • ＝－３，求｜ ＋ ｜，｜ － ｜
解：∵｜ ＋ ｜２＝（ ＋ ）２＝ ２＋２ • ＋ ２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３
∴｜ ＋ ｜＝ ，∵（｜ － ｜）２＝（ － ）２＝ ２－2 • ＋ ２＝2２－2×（－3）×５２＝35，
∴｜ － ｜＝ ．
例2 已知｜ ｜＝8，｜ ｜＝10，｜ ＋ ｜＝16，求 与 的夹角θ(精确到１°)
解：∵（｜ ＋ ｜）２＝（ ＋ ）２＝ ２＋2 • ＋ ２＝｜ ｜２＋2｜ ｜•｜ ｜ｃｏｓθ＋｜ ｜２
∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，
∴ｃｏｓθ＝ ，∴θ≈５５°
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