数学整理与复|一节数学复习课

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一节数学复习课这是一节数学复习课，在讲到题“已知，如图1，P是△ABC内任意一点，请用不等号>或< 表示∠A、∠1、∠2的大小，并说明理由。”后简单介绍一下三角形中“大边对大角”问题（现行课本中没有提到），其目的，以开阔学生的视野，同时进一步巩固“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”、等腰三角形性质等知识。问题：在△ABC中，AB>AC,  求证：∠C>∠B（如图2）

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 （请同学们思考，教师巡视）我发现，有不少同学作出如图3辅助线，问其故，曰：在BC上取点D，使AD=AC，则∠C=∠ADC，又∠ADC>∠B，所以，∠C>∠B。

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师：思路很好！请坐下！这位同学很自信的坐下，其他同学也投去羡慕的目光。我把话题一转，请同学们看有没有不合适的地方。（没有不同意见）师：我有一点看法，请大家评判。“在BC上取点D，使AD=AC”，此时D 为什么一定在BC上，会不会在CB延长线上， 有没有可能在BC的延长线上？（要求学生思考、画图）事实上，当∠C为钝角时，点D就会落在BC的延长线上，而此时的结论显然成立。如（图5）。而对（图4）就不好解释了。生：因为AB>AC，不会有图4这种情况。师：好！但要对这种情况进行说明。

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师：上面的解法，思路很好，有美中不足。建议用下面的解法：解：（如图6）在AB上截取AD=AC，连结CD，则∠ACD=∠ADC，又∠ADC>∠B，∠ACB>∠ACD，所以∠ACB>∠B。      师：那“在△ABC中，AB>AC,求证：∠C>∠B”的逆命题是真命题吗？想一想。学生思考后，回答：是真命题。“在△ABC中，∠C>∠B,求证：AB>AC”师：请给出证明。（学生活动）解法：（如图7）以点C为角的顶点，BC为边作∠BCD=∠B，则BD=DC，在△ADC中，AD+DC>AC所以，AD+DB>AC即AB>AC

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（此时，学生情绪很好，思维很活跃）邹宇同学说：“那我作线段BC的垂直平分线，设它交AB于D，再连结CD，不也是一样的吗？（如图8）老师首先肯定这位同学的回答，很好。请我们想一想，看行不行？有人说，行！“理由”？“线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等……”。也有人说，好像不行。为什么不行呢？“那……如果AB<AC，D应该交在边AC上”。陈世超同学发言说。（学生能够发现其错误所在，老师自然很高兴。我一再强调：同学们能够积极思考，即使回答错误，老师也一样欢迎！）师：作线段BC的垂直平分线，设它交AB于D,这实质上是承认了AB>AC，这正是错误之所在。（对还没有理解的同学，老师再画图说明之。）“那我这样想行不行”？王长宇同学又有想法了。“好！请陈述一下你的高见”。由于当时师生情绪很好，很和谐，所以我讲出了“高见”两字。听了王长宇同学的解题思路后，“哦，我听明白了，大家看对不对？”这时，我将王长宇同学的解题思路在黑板是展示：作∠BAC的平分线AD，过点D 作EF⊥AD交AB于点E（如图9），则∠ADE=∠ADF=90度，∴∠ADB>∠ADE=90度, 而∠ADC<∠ADF=90度,∴∠ADB>∠ADC,在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD∠ADB>∠ADC∴∠B<∠C……

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这时，颜顺同学有不同意见：“那点E为什么一定交AB上，这不是承认AB>AC了吗”？多可爱的孩子呀！“是的。这题本想证明AB>AC，结果在证明的过程中，又无意中犯了一个事先承认AB>AC错误。数学真会捉弄人！数学真得是既“淘气”又可爱呀”！（班级响起了笑声）老师强调：王长宇同学的想法很好，这个解法用在原命题（在△ABC中，AB>AC,求证：∠C>∠B）上，应该是一个不错的解法。 ……反思：这里，教师把学生作为一个有思想、有经验、有问题、有潜能、有需要、有情感的 “朋友”来看待，对学生人格的高度尊重，时时顾及学生的困惑、学生的发现、学生的灵感、学生的表现欲望，根据学生的兴趣、动机、需要，当好学生数学学习的组织者、引导者与合作者。这样的氛围为学生创造了一个适宜学习，主动建构的教学环境。我想，不管我的学生回答问题正确与否，只要勇于思考、积极发言，敢于说话，善于动脑，都是我的好学生！同学们正是在老师的引导下，在制造错误、发现错误、纠正错误的过程中一步步走向成功！这节数学课，我很满意！

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