[《三角形的内角和》教学案例分析]《三角形的内角和》教学案例评析与教学反思

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　　最近，在区教研室的安排下，我在全区新课改教材培训会上讲了一节示范课，内容是人教版实验教材第八册《三角形的内角和》。这节课课前得到了区教研室专家的精心指导，课后受到学生和听课教师的一致好评。我想这节的成功之处就在于给学生一个开放的学习环境，给学生一个探究的学习天地，让学生“启思质疑 引探新知”。纵观本课，猜想的提出、验证，方法、结论的得出，都是学生个体主动参与、合作探究的结果。这样的数学课堂教学过程，充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动，培养了学生的探索精神，并在探究过程中获得丰富的情感体验。 
教学内容：义务教育课程标准实验教科书数学第八册（人教版） 
【片段 1 】创设情景，揭示课题。 
出示多媒体课件：如图 1 
图 1 
师：同学们观察到什么？ 
生 1 ：两条直线相交形成四个角。 
生 2 ：这四个角有两个锐角、两个钝角。 
生 3 ：因为∠ 1 和∠ 2 组成一个平角，所以∠ 1+ ∠ 2=180 °；同样道理，∠ 3+ ∠ 4=180 °。 
生 4 ：∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4=360 ° 
出示多媒体课件：如图 2 

图 2 
师：什么变了？什么没变？ 
生 1 ：∠ 1 和∠ 2 的大小都变了，但 ∠ 1 和∠ 2 的和还是 180 °；∠ 3 和∠ 4 的大小都变了，但 ∠ 3 和∠ 4 的和还是 180 °。它们的和没变。 
生 2 ：∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4=360 °，这四个角的总和也没变。 
师：老师把其中一条直线继续旋转，如图 3 ，让∠ 1 变成了一个直角，你们知道其它三个角的是什么角吗？各是多少度？ 
图 3 
生 1 ：其它四个角都是直角，都等于 90 °。 
师：想一想，哪些平面图形中有四个直角。 
生：长方形和正方形。 
多媒体课件出示一个图片：如图 4 。 

图 4 
师：我们把长方形和正方形里的四个直角叫做内角。 
师：想一想，什么叫做内角和？ 
生：（略） 
师：三角形有几个内角？ 
生：（略） 
师：什么是三角形的内角和？ 
生：（略） 
师：三角形的内角和会是多少度呢？是锐角三角形的内角和大还是钝角三角形的内角和大呢？请同学猜一猜。 
生：（略） 
【评析】关注学生的生活经验和已有的知识体验是《标准》的重要理念之一。这节通过学生已有的知识经验出发，让学生猜一猜、说一说，从而为学生的探索提供空间。同时，在教学过程中渗透了“变与不变”的数学思想，这种思想对学生形成“三角形形状改变，但内角和不变”的观念很有帮助，做好了铺垫。在教学过程中渗透数学思想也是《标准》的重要理念之一。 
【片段 2 】引导小组合作，自主探究。 
多媒体课件出示一个正方形和一个长方形。如图 5 

图 5 
师：这是两个什么平面图形？这两个图形有什么联系？ 
生 1 ：它们都有四个直角。 
生 2 ：它们都有四条边。 
生 3 ：它们都能沿对角线分成两个完全一样的直角三角形。 
师：同学们观察的真仔细！我们沿着长方形和正方形的对角线对折就会把长方形和正方形平均分成两个完全一样的直角三角形。请同学们利用学具当中的正方形和长方形纸片动手折一折，并思考：这样两个完全一样的直角三角形，它们的内角和各自有多少度？ 
[ 学生们以小组为单位，动手操作，实验，对折，讨论，交流。 ] 
师：请同学们把自己的发现跟全班同学交流一下。 
生 1 ：我们小组发现，正方形沿着对角线对折，可以分成两个完全一样的等腰直角三角形，这个三角形有一个直角等于 90 °，另外两个锐角相等，都是 45 °。所以，这个三角形的内角和 =90 ° +45 ° +45 ° =180 °。 
生 2 ：我们小组发现，长方形沿着对角线对折，可以分成两个完全一样的直角三角形，因为长方形的内角和是 360 °，所以，这个直角三角形的内角和 =360 °÷ 2=180 °。 
生 3 ：我们小组发现，正方形沿着对角线对折，可以分成两个完全一样的等腰直角三角形，因为正方形的内角和是 360 °，所以，这个直角三角形的内角和 =360 °÷ 2=180 °。 
师：同学们说的很好，那么，是不是任意的一个直角三角形的内角和都是 180 °呢？  123
生：我认为任意一个直角三角形的内角和都是 180 °。因为我们可以找来一个完全一样的直角三角形，并把这两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，长方形的内角和是 360 °，所以，一个直角三角形的内角和就是 360 度的一半。 360 °÷ 2=180 °。 
师：同学们同意他的观点吗？ 
生：同意。 
师：那我们可以得出一个怎样的结论？ 
生：直角三角形的内角和是 180 度 . 

【评析】全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）中指出，“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”在教学设计中注意体现这一理念，在主动的、互相启发的学习活动中使学生初步感受数学的思想方法，受到数学思维的训练，获得知识，发展能力。　　《标准》还指出：“教师应激发学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能……”这节课，学生在小组中为了完成共同的任务，形成了有明确责任分工的互助性学习，将个人之间的竞争转化为小组之间的竞争，有助于培养学生合作精神和竞争意识，弥补一个教师难以面向有差异的众多学生的教学不足，实现使每个学生都得到发展的目标。由于有了学生的积极参与和高效的交互活动，使教学不仅仅只是体现一个认知、探究、交流、决策的过程，同时还体现了一个交往与审美的过程。 
【片段 3 】动手操作，验证猜想。 
师：直角三角形的内角和是 180 度直角，那么钝角三角形和锐角三角形的内角和是多少度？请同学们猜想一下。 
生 1 ：我猜想钝角三角形的内角和可能大于 180 度，因为它有一个钝角。锐角三角形的内角和可能小于 180 度，因为它的三个角都是锐角。 
生 2 ：我猜想钝角三角形和锐角三角形的内角和都是 180 度。 
师：哪种猜想正确呢？为了验证我们的猜想，我们该怎么办？请同学们利用学具动手操作，小组合作，看哪个小组想的办法最多？ 
[ 学生们以小组为单位，动手操作，实验，对折，讨论，交流，教师给与充分的时间。 ] 
师：下面请同学们交流，看看你有什么发现？一会儿同学们交流的时候，如果你觉得他的发言很精彩，我们可以送上掌声。如果你觉得他的发言不能让你信服，那你就举手补充，好吗？ 
生 1 ：我们用量角器分别量出∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 ，再求和，发现钝角三角形和锐角三角形的内角和都是 180 度。（在展示台展示） 
生 2 ：我们把三角形的三个角∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 剪下来，然后拼在一起，就拼成一个平角了。因为平角等于 180 度，所以发现钝角三角形和锐角三角形的内角和都是 180 度。（在展示台展示） 
生 3 ：我们把三角形的三个角∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 折到一起，也拼成一个平角了。因为平角等于 180 度，所以钝角三角形和锐角三角形的内角和都是 180 度。（展示折的方法） 
生 4 ：我们把三角形的三个角∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 画下来，画到一起，就拼成一个平角了。因为平角等于 180 度，所以发现钝角三角形和锐角三角形的内角和都是 180 度。（在展示台展示） 
生 5 ：我们在三角形内画一条高，就把三角形分成了两个直角三角形，这两个直角三角形的内角和等于 180 °× 2=360 °。当这两个直角三角形拼在一起形成一个新大三角形时，就去掉了两个直角，所以三角形的内角和 =360 °－ 90 °－ 90 ° =180 °。（在展示台展示） 
师：同学们真聪明，想出了这么多好的办法！通过刚才的实验，我们验证了三角形的内角和是 180 °。 
师：刚才同学们用的画、折、拼的方法都是将三角形的三个内角转化成我们熟悉的角，这种转化方法是我们学习数学的重要方法，希望同学们在今后的学习中大胆应用。 
【评析】学生的数学学习内容是现实的、有意义的、富有挑战性的。从特殊三角形到一般三角形的内角和，对学生来说，是富有挑战性的。特别是“钝角三角形和锐角三角形的内角和是多少度？”这一开放性的问题，引发了学生思维上的冲突。学生在这里遇到了困难，产生了分歧，有了争执。教师把握机会，组织学生动手操作验证，这个操作是必要的，也是适时和有价值的。这里融入了学生的猜测、验证、推理与交流等数学活动，充分体现了学生的数学学习是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。我以为，活动是数学教学的基本形式，思考是数学的核心问题。改善学习方式，重要的不是研究教师怎样讲，而是研究如何创设良好的问题情境，让学生运用已有经验，在思考与活动中，经历“再创造”的过程。以上教学片段反映了执教者倡导探究性、合作性的学习活动，改善学生学习方式的某些侧面。从而培养学生的合作交流、动手实践的能力。  123
【片段 4 】 学生新知巩固，知识应用拓展。 
师：今天这节课后你还想知道些什么？你有什么收获？有什么遗憾？ 
生 1 ：我想知道三角形有没有外角？ 
师：三角形有外角，今后我们会学习了解的。 
生 2 ：我想知道学习三角形的内角和有什么用？ 
师：学习三角形的内角和有什么用？请同学们看屏幕！（多媒体课件出示问题 1 ：流动红旗为等腰直角三角形，两个底角为 70 度，求流动红旗的顶角度数。） 
师：请同学们思考，求出流动红旗的顶角度数？ 
生： 180-70-70=40 （度） 
（多媒体课件出示问题 2 ：交通警示牌“让”为等边三角形，求其中一个角的度数。） 
师：请同学们思考，求出交通警示牌一个角的度数？ 
生： 180 ÷ 3=60 （度） 
师：现在同学们知道了吧，知道三角形的内角和，我们就可以解决许多求三角形的一个内角度数的问题。 
师：同学们有什么收获？还有什么遗憾？ 
生 1 ：我知道了不管什么三角形，它的内角和都是 180 °。 
生 2 ：通过这节课的学习，我觉得做事不能光猜想。 
生 3 ：我觉得小组合作探究能节省时间。 
生 4 ：我有遗憾，我还想知道其它图形的内角和。 
师：由于时间限制，课堂上老师不能跟大家介绍多边形的内角和了，我们就把它当作课外作业，下课后请同学们自己或与他人协作探究多边形的内角和，好吗？ 
【评析】设计的练习让学生更深的对所学的新知加以巩固，从而促使学生综合运用知识，增强观察生活，解决问题的能力。通过进一步的练习，运用所学知识解决简单的实际问题，发展学生的观察、归纳、概括能力和初步的空间想象力。同时，知识的应用密切联系生活实际，让学生根据自己的理解去解决生活中的问题。通过知识的应用，学生不但进一步巩固了所学知识，同时也认识到数学来源于生活，让学生从观察中发现生活中存在的一些数学知识，并能运用这些知识、经验来解决有关的数学问题，让他们感到身边处处有数学，从而提高他们学习数学的积极性。 

教学反思： 
一、注重新旧知识的延续性。 
　　通过复习、回忆已经学过的四边形知识为新内容进行铺垫。同时，也为知识间的迁移作了伏笔。《课标》强调学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。 
二、创设问题情景，以疑激思。 
　　古人云：学起于思，思源于疑。学生的积极思维往往是由问题开始，又在解决问题中得到发展。课堂环节中的适时提问：“请同学们猜想一下，这个三角形的内角和是多少度吗？”，猜想本身就是学习的动力，掀起了学生积极思维的小高潮。 
三、让学生动起来，以动启思。 
　　著名心理学家皮亚杰说过：“儿童的思维是从动作开始的。”可见，人的手脑之间有着非常密切的联系。本课中，通过让学生动手操作，量、剪、拼、折等实验活动，得到的不仅是三角形内角和的知识，也使学生学到了怎样由已知探索未知的思维方式与方法。培养了他们主动探索的精神。让学生在活动中学习，在活动中发展，是这节课的突出特点。 
四、小组合作，自主探究。 
　　任何一项科学研究活动或发明创造都要经历从猜想到验证的过程。“是否任何三角形内角和都是 180 °”，这个猜想如何验证，这正是小组合作的契机。通过小组内交流，使学生认识到可以通过多种途径来验证，可以量一量、拼一拼、折一折，让学生在小组内完成从特殊到一般的研究过程。然后再小组汇报研究结果以及存在问题。数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。这堂课中的全班交流教学环节，不仅能使学生畅所欲　言、互起互发、共同发展，而且真正体现了学生是学习的主人，是学习的主体这一现代教育的主题。 
五、注重数学思想方法，让学生受到数学思想的熏陶与启迪。 
　　这节课在教学过程中渗透了“变与不变”、转化等数学思想。 
六、注重数学知识与生活的联系，注重培养学生的应用意识。在 
　　学生新知巩固，知识应用拓展阶段，教师出示现实生活中的物体：流动红旗和交通警示牌，体现了“数学来源于生活”的理念，同时也突出了“数学注重应用”的理念。  

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