【有理数的加法】有理数的加法 —— 初中数学第一册教案

【jiaoan.jxxyjl.com--七年级数学教案】

【学习目标】

1．能说出有理数的加法法则，并能运用加法法则进行有理数的加法运算或能解决简单的实际问题．

2．能运用加法的运算性质简化加法运算．

3．知道有理数的加法运算律，并能运用加法运算律使加法计算简便合理．

【主体知识归纳】

1．有理数的加法法则

(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两数相加得0．

(3)一个数与0相加，仍得这个数．

2．有理数的加法运算律

(1)交换律 两数相加，交换加数的位置，和不变．

a＋b＝b＋a

(2)结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

【基础知识讲解】

1．有理数的加法法则，是进行有理数加法运算的依据，运算步骤如下：

(1)先确定和的符号；

(2)再确定和的绝对值．

2．运算规律是：同号的两个数(或多个数)相加，符号不变，只把它们的绝对值相加即可．如(＋3)＋(＋4)＝＋(3＋4)＝＋7．(－3)＋(－4)＋(－13)＝－(3＋4＋13)＝－20．异号两数相加，首先要确定和的符号．取两数中绝对值较大的加数的符号，作为和的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值的差，作为和的绝对值．如(＋3)＋(－4)＝－(4－3)＝－1．

3．运用有理数加法的运算律，可以任意交换加数的位置．把交换律和结合律灵活运用，就可以把其中的几个数结合起来先运算，使整个计算过程简便而又不易出错．

【例题精讲】

例1 计算(＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－32)．

剖析：此小题逐个相加当然可以，但较麻烦．可以利用加法的交换律和结合律，正、负数分别结合，再相加．

解：(＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－32)＝［(＋16)＋(＋24)］＋［(－25)＋(－32)］＝(＋40)＋(－57)＝－17．

说明：在进行三个以上的有理数的加法运算时，一般把正数和负数分别结合起来，再相加，计算较为简便．若是在同一加法的算式里有相反数，要首先结合相反数．

例2 计算(－2．1)＋(＋3．75)＋(＋4)＋(－3．75)＋(＋5)＋(－4)．

剖析：仔细观察算式，发现(＋3．75)与(－3．75)，(＋4)与(－4)互为相反数，根据互为相反数的两个数相加得零．

解：(－2．1)＋(3．75)＋(＋4)＋(－3．75)＋(＋5)＋(－4)＝［(－2．1)＋(＋5)］＋［(＋3．75)＋(－3．75)］＋［(＋4)＋(－4)］＝2．9＋0＋0＝2．9．

说明：计算时，若把相加得零的数结合起来，计算较为简便．

例3 计算(－2．39)＋(＋3．57)＋(－7．61)＋(－1．57)．

剖析：此题把正、负数分别结合，并非简单算法．用“凑整法”，分别把(－2．39)与(－7．61)，(＋3．57)与(－1．57)相结合，较为简便．

解：(－2．39)＋(3．57)＋(－7．61)＋(－1．57)＝［(－2．39)＋(－7．61)］＋［(＋3．57)＋(－1．57)］＝(－10)＋(＋2)＝－8．

说明：计算时，把能凑成整数的两个或多个数相加，是常用的方法之一．

例4 计算(＋3 )＋(－5 )＋(－2 )＋(－32 )．

解：(＋3 )＋(－5 )＋(－2 )＋(－32 )＝［(＋3 )＋(－2 )］＋［(－5 )＋(－32 )］＝(＋1 )＋(－38)＝－36 ．

说明：在含有分数的算式中，一般把分母相同的数结合在一起，计算较为简便．

例5 计算下列各题：

(1)0．2＋(－5．4)＋(－0．6)＋(＋6)；        (2)(＋ )＋(＋ )＋(－ )＋(－ )；

(3)(＋3．15)＋(－2．64)＋(－6．31)＋(＋2．85)＋(－９．36)．

剖析：(1)小题正数与正数、负数与负数分别结合，可使计算简便；(2)小题前三个数结合相加为零；(3)小题第一个数与第四个数、第二个数与第五个数相结合凑为整数．

解：(1)0．2＋(－5．4)＋(－0．6)＋(＋6)＝［0．2＋(＋6)］＋［(－5．4)＋(－0．6)］＝6．2＋(－6)＝0．2

(2) (＋ )＋(＋ )＋(－ )＋(－ )＝［(＋ )＋(＋ )＋(－ )］＋(－ )＝0＋(－ )＝－ ．

(3)(＋3．15)＋(－2．64)＋(－6．31)＋(＋2．85)＋(－９．36)

＝［(＋3．15)＋(＋2．85)］＋［(－2．64)＋(－９．36)］＋(－6．31)

＝－12．31．

说明：灵活地运用加法的运算律，可以使运算简便、迅速且易于检查．如在(1)小题中，把正数、负数分别结合；在第(2)小题中主要是把其和为零的数结合；在第(3)小题中，则是把和为整数的两数结合在一起．因此，不同的题选择的结合方法不尽相同，要根据题中数的特点决定．

例6 若|y－3|＋|2x－4|＝0，求3x＋y的值．

剖析：根据绝对值的性质可以得到|y－3|≥0，|2x－4|≥0，所以只有当y－3＝0且2x－4＝0时，|y－3|＋|2x－4|＝0才成立．由y－3＝0得y＝3，由2x－4＝0，得x＝2．则3x＋y易求．

解：∵|y－3|≥0，|2x－4|≥0，

又∵|y－3|＋|2x－4|＝0．

∴y－3＝0，y＝3 2x－4＝0，x＝2．

∴3x＋y＝3×2＋3＝9．

说明：此题利用了“任何一个有理数的绝对值都非负”这个性质．因为几个非负数的和仍是非负数，所以当几个非负数的和是零时，这几个数全为零．

【同步达纲练习】

1．判断题

(1)两个数相加，如果和比每个数都小，那么这两个数同为负数．

(2)如果两个加数的和为正数，那么一定有一个加数为0．

(3)正数加负数，和为负数．

(4)两个有理数的和为负数时，这两个有理数都是负数．

(5)(－8)＋(＋3)＝＋(8－3)＝＋5．

(6)(－8)＋(－3)＝－(8＋3)＝－11．

(7)两个有理数的和，一定大于任何一个加数．

(8)若a>0，b>0，则a＋b＝＋(|a|＋|b|)．

(9)若a>0，b<0，则a＋b＝＋(|a|－|b|)．

(10)若a<0，b<0，则a＋b＝－(|a|＋|b|)．

2．填空题

(1)符号相同的有理数相加的法则是______；符号相异的两个有理数相加的法则是_____．

(2)用字母表示加法的交换律和结合律分别为_______，_______．

(3)－5＋_______＝0；                        (4)－5＋_______＝5；

(5)－5＋_______＝－5；                  (6)－5＋_______＝－10；

(7)＋(＋13)＝ _______＋15；             (8)(－13)＋ _______＝－15；

(9) _______＋(＋2)＝＋11；              (10) _______＋(＋2)＝－11；

(11)(－4 )＋(＋8 )＝______3 ；      (12)(＋5 )＋(－7 )＝______2 ．

(13)a>0，b<0，且|a|<|b|，则a＋b_______0．(填>，<，≥，≤)．

(14)如果m>0，n>0，则m＋n_______0．

(15)如果m<0，n<0，则m＋n_______0．

(16)两个加数的和是0，其中的一个加数为－3 ，则另一个加数为________．

(17)比－4．1大3的数是_________．

(18)一个有理数的绝对值的相反数一定________零．

(19)4m－6与2互为相反数，则－m＝___________．

(20)已知a、b为有理数，若|a＋ |＋(2b－5)2＝0，则a＝_________，b＝_________．

3．选择题

(1)设a、b为两个有理数，a＋b与a比较

A．a＋b>a

B．a＋b<a

C．a＋b不小于a

D．大小关系应考虑b是正数，b是负数和b是零三种情况

(2)如果不为零的两个数的绝对值相等，那么下列说法错误的是

A．这两个数必相等

B．这两个数相等或互为相反数

C．当这两个数同号时，A正确

D．当这两个数异号时，这两个数互为相反数

(3)若5<x<10，化简|－x＋5|＋|－10＋x|的结果是

A．＋5

B．－5

C．15－2x

D．2x－15

(4)如果m<0，则|2m|等于

A．0

B．2m

C．－2m

D．以上答案都不对

4．进行下列运算，并分析各题运算过程：

(1)(＋8)＋(＋5)；                       (2)(－8)＋(－5)；

(3)(＋8)＋(－5)；                       (4)(－8)＋(＋5)；

(5)(－8)＋(＋8)；                       (6)(＋8)＋0；

(7)(－8)＋0；                           (8)(＋5 )＋(＋3 )；

(9)(－5 )＋(－3 )；                  (10)(＋5 )＋(－3 )．

5．用简便方法计算：

(1)(－0．6)＋0．2＋(－11．4)＋0．8；

(2)(＋56)＋(－12)＋(＋11．3)＋(－7．4)＋(＋8．1)＋(－2．5)；

(3)(－4 )＋(－3 )＋(＋6 )＋(－2 )；

(4)(－0．5)＋(＋3 )＋(＋2．75)＋(－5 )；

(5)(＋0．25)＋(－3 )＋(－ )＋(－5 )；

(6)(－3．5)＋(－1．3)＋(＋3．5)＋(－0．5)＋(－8．7)．

6．运河信用社办理了五笔储蓄业务，顺序如下：取出5万元，存进9．5万元，取出3万元，存进15万元，存进80万元．问这个信用社存款增加了多少万元？

7．有理数a、b满足a、b异号，a<b，且a＋b>0，则|a|_______|b|(用“>”或“<”填空)．

8．若|x|－1|＝2，求x的值．

9．

10．若4|x－2|＋|y－3|＝0，求 的值．

【思路拓展题】

负数是数吗？

“负数”是数吗？对你现在来说，这已不是问题，而在人类的认识过程中却经历了漫长的时期．

数的起源．在远古时候，人们天天用手拿东西，时间长了，有人便发现了一个秘密，一只手上有5个指头，于是，1至5就这样产生了．这个简单的数“5”，却是人类记数的第一次突破，是数学作为一门科学迈出的关键性的一步．又过了很长一段时间，有人把两只手放在一起，却发现竟是两个“5”，这样便产生了“10”．以后用两只手加一只脚，又知道了“15”．这以后相当长的一段时间里，“20”便成了人们所能够认识的最大的数．随着生产的发展，20远远不够用了．比如：牧羊人要把一群羊的数目点清，就必须想新的办法．牧羊人就用石子代替羊．在清点牧羊的数目时，用一块石子代替一只羊，每10只羊用一块大石子代替．这样30、40、50直至90便产生了．另外，古波斯王在战争中，还发明了结绳记数法．以后，随着人们的认识水平的提高和生活、生产的需要，发明了百、千、万、亿……以至任何数目的记载方法．

在使用负数和它的运算方面，中国在世界上处于遥遥领先的地位——距今大约2000年以前，就已经认识了负数，规定了表示负数的方法，指出了负数在具有相反意义的量中的实际意义，并进一步在解方程中运用正负数的运算．

在国外，印度大约在公元七世纪才开始认识负数．在欧洲，直到十二、三世纪才有负数，但这时的西方数学家并不欢迎它，甚至许多人都说负数不是数．科学上的新发现往往会受到保守势力的反抗．当负数概念传到欧洲以后，新旧观点之间引起了激烈的冲突．这场大辩论延续了几百年，最后才逐渐取得比较一致的看法：负数和正数、零一样，也是数．

在这场大辩论中有一段小插曲，颇能引起人们的深思：

一天，著名的数学家、物理学家帕斯卡(Pascal，1623～1662年)正和他的好友，神学家、数学家阿尔诺(Arnauld，1612～1694年)聊天，突然，阿尔诺说：从来都是较小的数∶较大的数＝较小的数∶较大的数，或较大的数∶较小的数＝较大的数∶较小的数．

现在，居然出现(－1)∶1＝1∶(－1)

这种“较小的数∶较大的数＝较大的数∶较小的数”这类怪现象了！

阿尔诺的话当然引起人们的浓厚兴趣，甚至一部分人的疑虑——承认负数是数，你就得承认“小数∶大数＝大数∶小数”这种怪现象．

其实，当数的范围扩大以后，原有的数学现象，有一些被保留下来，也有一些现象不被保留下来．数的范围从正整数、正分数扩大到有理数，“大数比小数一定等于大数比小数”这一数学现象就不被保留下来．这种情况，当你学习了更多的数学知识、数的范围进一步扩大时，还会碰到．

参考答案

【同步达纲练习】

1．(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)× (8)√ (9)× (10)√

2．(1)取原来加数的符号，并把绝对值相加 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值

(2)a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

(3)5 (4)10 (5)0 (6)(－5) (7)2 (8)(－2)

(9)9 (10)(－13) (11)＋ (12)－ (13)<

(14)> (15)< (16)＋3 (17)－1．1

(18)不大于 (19)－1 (20)－

3．(1)D (2)B (3)A (4)C

4．(1)＋13 两个正数相加；

(2)－13 两个负数相加；

(3)＋3 绝对值不等的两数相加；

(4)－3 绝对值不等的两数相加；

(5)0 互为相反的两数相加；

(6)＋8 一个数同0相加；

(7)－8 一个数同0相加

(8)9 两个正分数相加；

(9)－9 两个负分数相加；

(10)2 两个绝对值不等的分数相加．

5．(1)－11 (2)53．5 (3)－4 (4)0 (5)－8 (6)－9．5

6．93．5万元 7．< 8．±3 9．－2003 10．

【学习目标】

1．能说出有理数的加法法则，并能运用加法法则进行有理数的加法运算或能解决简单的实际问题．

2．能运用加法的运算性质简化加法运算．

3．知道有理数的加法运算律，并能运用加法运算律使加法计算简便合理．

【主体知识归纳】

1．有理数的加法法则

(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两数相加得0．

(3)一个数与0相加，仍得这个数．

2．有理数的加法运算律

(1)交换律 两数相加，交换加数的位置，和不变．

a＋b＝b＋a

(2)结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

【基础知识讲解】

1．有理数的加法法则，是进行有理数加法运算的依据，运算步骤如下：

(1)先确定和的符号；

(2)再确定和的绝对值．

2．运算规律是：同号的两个数(或多个数)相加，符号不变，只把它们的绝对值相加即可．如(＋3)＋(＋4)＝＋(3＋4)＝＋7．(－3)＋(－4)＋(－13)＝－(3＋4＋13)＝－20．异号两数相加，首先要确定和的符号．取两数中绝对值较大的加数的符号，作为和的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值的差，作为和的绝对值．如(＋3)＋(－4)＝－(4－3)＝－1．

3．运用有理数加法的运算律，可以任意交换加数的位置．把交换律和结合律灵活运用，就可以把其中的几个数结合起来先运算，使整个计算过程简便而又不易出错．

【例题精讲】

例1 计算(＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－32)．

剖析：此小题逐个相加当然可以，但较麻烦．可以利用加法的交换律和结合律，正、负数分别结合，再相加．

解：(＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－32)＝［(＋16)＋(＋24)］＋［(－25)＋(－32)］＝(＋40)＋(－57)＝－17．

说明：在进行三个以上的有理数的加法运算时，一般把正数和负数分别结合起来，再相加，计算较为简便．若是在同一加法的算式里有相反数，要首先结合相反数．

例2 计算(－2．1)＋(＋3．75)＋(＋4)＋(－3．75)＋(＋5)＋(－4)．

剖析：仔细观察算式，发现(＋3．75)与(－3．75)，(＋4)与(－4)互为相反数，根据互为相反数的两个数相加得零．

解：(－2．1)＋(3．75)＋(＋4)＋(－3．75)＋(＋5)＋(－4)＝［(－2．1)＋(＋5)］＋［(＋3．75)＋(－3．75)］＋［(＋4)＋(－4)］＝2．9＋0＋0＝2．9．

说明：计算时，若把相加得零的数结合起来，计算较为简便．

例3 计算(－2．39)＋(＋3．57)＋(－7．61)＋(－1．57)．

剖析：此题把正、负数分别结合，并非简单算法．用“凑整法”，分别把(－2．39)与(－7．61)，(＋3．57)与(－1．57)相结合，较为简便．

解：(－2．39)＋(3．57)＋(－7．61)＋(－1．57)＝［(－2．39)＋(－7．61)］＋［(＋3．57)＋(－1．57)］＝(－10)＋(＋2)＝－8．

说明：计算时，把能凑成整数的两个或多个数相加，是常用的方法之一．

例4 计算(＋3 )＋(－5 )＋(－2 )＋(－32 )．

解：(＋3 )＋(－5 )＋(－2 )＋(－32 )＝［(＋3 )＋(－2 )］＋［(－5 )＋(－32 )］＝(＋1 )＋(－38)＝－36 ．

说明：在含有分数的算式中，一般把分母相同的数结合在一起，计算较为简便．

例5 计算下列各题：

(1)0．2＋(－5．4)＋(－0．6)＋(＋6)；        (2)(＋ )＋(＋ )＋(－ )＋(－ )；

(3)(＋3．15)＋(－2．64)＋(－6．31)＋(＋2．85)＋(－９．36)．

剖析：(1)小题正数与正数、负数与负数分别结合，可使计算简便；(2)小题前三个数结合相加为零；(3)小题第一个数与第四个数、第二个数与第五个数相结合凑为整数．

解：(1)0．2＋(－5．4)＋(－0．6)＋(＋6)＝［0．2＋(＋6)］＋［(－5．4)＋(－0．6)］＝6．2＋(－6)＝0．2

(2) (＋ )＋(＋ )＋(－ )＋(－ )＝［(＋ )＋(＋ )＋(－ )］＋(－ )＝0＋(－ )＝－ ．

(3)(＋3．15)＋(－2．64)＋(－6．31)＋(＋2．85)＋(－９．36)

＝［(＋3．15)＋(＋2．85)］＋［(－2．64)＋(－９．36)］＋(－6．31)

＝－12．31．

说明：灵活地运用加法的运算律，可以使运算简便、迅速且易于检查．如在(1)小题中，把正数、负数分别结合；在第(2)小题中主要是把其和为零的数结合；在第(3)小题中，则是把和为整数的两数结合在一起．因此，不同的题选择的结合方法不尽相同，要根据题中数的特点决定．

例6 若|y－3|＋|2x－4|＝0，求3x＋y的值．

剖析：根据绝对值的性质可以得到|y－3|≥0，|2x－4|≥0，所以只有当y－3＝0且2x－4＝0时，|y－3|＋|2x－4|＝0才成立．由y－3＝0得y＝3，由2x－4＝0，得x＝2．则3x＋y易求．

解：∵|y－3|≥0，|2x－4|≥0，

又∵|y－3|＋|2x－4|＝0．

∴y－3＝0，y＝3 2x－4＝0，x＝2．

∴3x＋y＝3×2＋3＝9．

说明：此题利用了“任何一个有理数的绝对值都非负”这个性质．因为几个非负数的和仍是非负数，所以当几个非负数的和是零时，这几个数全为零．

【同步达纲练习】

1．判断题

(1)两个数相加，如果和比每个数都小，那么这两个数同为负数．

(2)如果两个加数的和为正数，那么一定有一个加数为0．

(3)正数加负数，和为负数．

(4)两个有理数的和为负数时，这两个有理数都是负数．

(5)(－8)＋(＋3)＝＋(8－3)＝＋5．

(6)(－8)＋(－3)＝－(8＋3)＝－11．

(7)两个有理数的和，一定大于任何一个加数．

(8)若a>0，b>0，则a＋b＝＋(|a|＋|b|)．

(9)若a>0，b<0，则a＋b＝＋(|a|－|b|)．

(10)若a<0，b<0，则a＋b＝－(|a|＋|b|)．

2．填空题

(1)符号相同的有理数相加的法则是______；符号相异的两个有理数相加的法则是_____．

(2)用字母表示加法的交换律和结合律分别为_______，_______．

(3)－5＋_______＝0；                        (4)－5＋_______＝5；

(5)－5＋_______＝－5；                  (6)－5＋_______＝－10；

(7)＋(＋13)＝ _______＋15；             (8)(－13)＋ _______＝－15；

(9) _______＋(＋2)＝＋11；              (10) _______＋(＋2)＝－11；

(11)(－4 )＋(＋8 )＝______3 ；      (12)(＋5 )＋(－7 )＝______2 ．

(13)a>0，b<0，且|a|<|b|，则a＋b_______0．(填>，<，≥，≤)．

(14)如果m>0，n>0，则m＋n_______0．

(15)如果m<0，n<0，则m＋n_______0．

(16)两个加数的和是0，其中的一个加数为－3 ，则另一个加数为________．

(17)比－4．1大3的数是_________．

(18)一个有理数的绝对值的相反数一定________零．

(19)4m－6与2互为相反数，则－m＝___________．

(20)已知a、b为有理数，若|a＋ |＋(2b－5)2＝0，则a＝_________，b＝_________．

3．选择题

(1)设a、b为两个有理数，a＋b与a比较

A．a＋b>a

B．a＋b<a

C．a＋b不小于a

D．大小关系应考虑b是正数，b是负数和b是零三种情况

(2)如果不为零的两个数的绝对值相等，那么下列说法错误的是

A．这两个数必相等

B．这两个数相等或互为相反数

C．当这两个数同号时，A正确

D．当这两个数异号时，这两个数互为相反数

(3)若5<x<10，化简|－x＋5|＋|－10＋x|的结果是

A．＋5

B．－5

C．15－2x

D．2x－15

(4)如果m<0，则|2m|等于

A．0

B．2m

C．－2m

D．以上答案都不对

4．进行下列运算，并分析各题运算过程：

(1)(＋8)＋(＋5)；                       (2)(－8)＋(－5)；

(3)(＋8)＋(－5)；                       (4)(－8)＋(＋5)；

(5)(－8)＋(＋8)；                       (6)(＋8)＋0；

(7)(－8)＋0；                           (8)(＋5 )＋(＋3 )；

(9)(－5 )＋(－3 )；                  (10)(＋5 )＋(－3 )．

5．用简便方法计算：

(1)(－0．6)＋0．2＋(－11．4)＋0．8；

(2)(＋56)＋(－12)＋(＋11．3)＋(－7．4)＋(＋8．1)＋(－2．5)；

(3)(－4 )＋(－3 )＋(＋6 )＋(－2 )；

(4)(－0．5)＋(＋3 )＋(＋2．75)＋(－5 )；

(5)(＋0．25)＋(－3 )＋(－ )＋(－5 )；

(6)(－3．5)＋(－1．3)＋(＋3．5)＋(－0．5)＋(－8．7)．

6．运河信用社办理了五笔储蓄业务，顺序如下：取出5万元，存进9．5万元，取出3万元，存进15万元，存进80万元．问这个信用社存款增加了多少万元？

7．有理数a、b满足a、b异号，a<b，且a＋b>0，则|a|_______|b|(用“>”或“<”填空)．

8．若|x|－1|＝2，求x的值．

9．

10．若4|x－2|＋|y－3|＝0，求 的值．

【思路拓展题】

负数是数吗？

“负数”是数吗？对你现在来说，这已不是问题，而在人类的认识过程中却经历了漫长的时期．

数的起源．在远古时候，人们天天用手拿东西，时间长了，有人便发现了一个秘密，一只手上有5个指头，于是，1至5就这样产生了．这个简单的数“5”，却是人类记数的第一次突破，是数学作为一门科学迈出的关键性的一步．又过了很长一段时间，有人把两只手放在一起，却发现竟是两个“5”，这样便产生了“10”．以后用两只手加一只脚，又知道了“15”．这以后相当长的一段时间里，“20”便成了人们所能够认识的最大的数．随着生产的发展，20远远不够用了．比如：牧羊人要把一群羊的数目点清，就必须想新的办法．牧羊人就用石子代替羊．在清点牧羊的数目时，用一块石子代替一只羊，每10只羊用一块大石子代替．这样30、40、50直至90便产生了．另外，古波斯王在战争中，还发明了结绳记数法．以后，随着人们的认识水平的提高和生活、生产的需要，发明了百、千、万、亿……以至任何数目的记载方法．

在使用负数和它的运算方面，中国在世界上处于遥遥领先的地位——距今大约2000年以前，就已经认识了负数，规定了表示负数的方法，指出了负数在具有相反意义的量中的实际意义，并进一步在解方程中运用正负数的运算．

在国外，印度大约在公元七世纪才开始认识负数．在欧洲，直到十二、三世纪才有负数，但这时的西方数学家并不欢迎它，甚至许多人都说负数不是数．科学上的新发现往往会受到保守势力的反抗．当负数概念传到欧洲以后，新旧观点之间引起了激烈的冲突．这场大辩论延续了几百年，最后才逐渐取得比较一致的看法：负数和正数、零一样，也是数．

在这场大辩论中有一段小插曲，颇能引起人们的深思：

一天，著名的数学家、物理学家帕斯卡(Pascal，1623～1662年)正和他的好友，神学家、数学家阿尔诺(Arnauld，1612～1694年)聊天，突然，阿尔诺说：从来都是较小的数∶较大的数＝较小的数∶较大的数，或较大的数∶较小的数＝较大的数∶较小的数．

现在，居然出现(－1)∶1＝1∶(－1)

这种“较小的数∶较大的数＝较大的数∶较小的数”这类怪现象了！

阿尔诺的话当然引起人们的浓厚兴趣，甚至一部分人的疑虑——承认负数是数，你就得承认“小数∶大数＝大数∶小数”这种怪现象．

其实，当数的范围扩大以后，原有的数学现象，有一些被保留下来，也有一些现象不被保留下来．数的范围从正整数、正分数扩大到有理数，“大数比小数一定等于大数比小数”这一数学现象就不被保留下来．这种情况，当你学习了更多的数学知识、数的范围进一步扩大时，还会碰到．

参考答案

【同步达纲练习】

1．(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)× (8)√ (9)× (10)√

2．(1)取原来加数的符号，并把绝对值相加 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值

(2)a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

(3)5 (4)10 (5)0 (6)(－5) (7)2 (8)(－2)

(9)9 (10)(－13) (11)＋ (12)－ (13)<

(14)> (15)< (16)＋3 (17)－1．1

(18)不大于 (19)－1 (20)－

3．(1)D (2)B (3)A (4)C

4．(1)＋13 两个正数相加；

(2)－13 两个负数相加；

(3)＋3 绝对值不等的两数相加；

(4)－3 绝对值不等的两数相加；

(5)0 互为相反的两数相加；

(6)＋8 一个数同0相加；

(7)－8 一个数同0相加

(8)9 两个正分数相加；

(9)－9 两个负分数相加；

(10)2 两个绝对值不等的分数相加．

5．(1)－11 (2)53．5 (3)－4 (4)0 (5)－8 (6)－9．5

6．93．5万元 7．< 8．±3 9．－2003 10．

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