向量的加法运算及其几何意义|向量的加法运算及其几何意义

高一数学教案 2015-02-25 网络整理 晴天

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教学目标:
1、 掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力;
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;
教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点:理解向量加法的定义.
学   法:
数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?数的加法启发我们,从运算的角度看,位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教   具:多媒体或实物投影仪,尺规
授课类型:新授课
教学思路:
一、设置情景:
1、 复习:向量的定义以及有关概念
强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置
2、 情景设置:
(1)某人从a到b,再从b按原方向到c,
   则两次的位移和:
(2)若上题改为从a到b,再从b按反方向到c,
   则两次的位移和:
(3)某车从a到b,再从b改变方向到c,
   则两次的位移和:
(4)船速为 ,水速为 ,则两速度和:
二、探索研究:
1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)
如图,已知向量a、b.在平面内任取一点 ,作 =a, =b,则向量 叫做a与b的和,记作a+b,即 a+b ,规定:      a + 0-= 0 + a

探究:(1)两相向量的和仍是一个向量;
(2)当向量 与 不共线时, + 的方向不同向,且| + |<| |+| |;
(3)当 与 同向时,则 + 、 、 同向,且| + |=| |+| |,当 与 反向时,若| |>| |,则 + 的方向与 相同,且| + |=| |-| |;若| |<| |,则 + 的方向与 相同,且| +b|=| |-| |.
(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n个向量连加
3.例一、已知向量 、 ,求作向量 +
   作法:在平面内取一点,作   ,则 .

4.加法的交换律和平行四边形法则
问题:上题中 + 的结果与 + 是否相同?    验证结果相同
从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)
             2)向量加法的交换律: + = +
5.向量加法的结合律:( + ) + = + ( + )
证:如图:使 ,  , 
则( + ) + = , + ( + ) =
∴( + ) + = + ( + )
从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例:
例二(p94—95)略
练习:p95
四、小结 
1、向量加法的几何意义;12
2、交换律和结合律;
3、注意:| + | ≤ | | + | |,当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业:
p103第2、3题
六、板书设计(略)
七、备用习题
1、一艘船从a点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行的速度的大小为 ,求水流的速度.
2、一艘船距对岸 ,以 的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时,船的实际航程为8km,求河水的流速.
3、一艘船从a点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 ,船的实际航行的速度的大小为 ,方向与水流间的夹角是 ,求 和 .
4、一艘船以5km/h的速度在行驶,同时河水的流速为2km/h,则船的实际航行速度大小最大是 km/h,最小是 km/h
5、已知两个力f1,f2的夹角是直角,且已知它们的合力f与f1的夹角是60 ,|f|=10n求f1和f2的大小.
6、用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

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