【分式不等式的解法】不等式的解法举例
【jiaoan.jxxyjl.com--高二数学教案】
教学目标
(1)能熟练运用不等式的基本性质来解不等式;
(2)在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上,掌握分式不等式、高次不等式的解法;
(3)能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式(组)来解;
(4)通过解不等式,要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想;
(5)通过解各种类型的不等式,培养学生的观察、比较及概括能力,培养学生的勇于探索、敢于创新的精神,培养学生的学习兴趣.
教学建议
一、知识结构
本节内容是在高一研究了一元一次不等式,一元二次不等式,简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上,进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则,将这些不等式等价转化为一次不等式(组)或二次不等式的求解,具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号,无理不等式有理化,分式不等式整式化,高次不等式一次化.其基本模式为:
;
;
;
二、重点、难点分析
本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的,由于不等式的解集一般都是无限集,如果产生了增根却是无法检验加以排除的,所以解不等式的过程一定要保证同解,所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式 的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当 为一元一次式时,可直接解这个不等式组,但当 为一元二次式时,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集.
三、教学建议
(1)在学习新课之前一定要复习旧知识,包括一元二次不等式的解法,简单的绝对值不等式的解法,简单的分式不等式的解法,不等式的性质,实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生,这一环节不可忽视.
(2)在研究不等式 的解法之前,应先复习解不等式组的基本思路以及不等式 的解法,然后提出如何求不等式 的解集,启发学生运用换元思想将 替换成 ,从而转化一元二次不等式组的求解.
(3)在教学中一定让学生充分讨论,明确不等式组“ ”中的两个不等式的解集间的交并关系,“ ” 两个不等式的解集间的交并关系.
(4)建议表述解不等式的过程中运用符号“ ”.
(5)建议在研究分式不等式的解法之前,先研究简单高次不等式(一端为0,另一端是若干个一次因式乘积形式的整式)的解法.可由学生讨论不同解法,师生共同比较诸法的优劣,最后落实到区间法.
(6)分式不等式 与高次不等式 的等价原因, 可以认为是不等式 两端同乘以正数 ,不等号不改变方向所得;也可以认为是 与 符号相同所得.
(7)分式不等式求解时不能盲目地去分母,但当分母恒为正数(如分母是 )时,应将其去掉,从而使不等式化简.
(8)建议补充简单的无理不等式 的解法,其中 为一次式.教学中先由学生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教师概括总结,得出结论后一定要强调不等号的方向对 的影响,即 保证了 ,而 却不能保证这一点,所以要分 和 两种情况进行讨论.
(9)求解不等式不仅要重视思路的理解,更要重视表述的规范,作为教师应给学生做出示范,学生通过模仿掌握书写格式,这样才有可能保证运算的合理性与结果的准确性.
教学设计示例 分式不等式的解法 教学目标 1.掌握分式不等式向整式不等式的转化; 教学重点难点 重点是分式不等式解法 教学方法 启发式和引导式 教具准备 三角板、幻灯片 教学过程 1.复习回顾: 前面,我们学习了含有绝对值的不等式的基本解法,还了解了数轴标根法的解题思路,本节课,我们将继续研究分式不等式的解法. 2.讲授新课: 例3 解不等式 <0. 分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于x的二次三项式的商,根据商的符号法则,它可以化成两个不等式组: 因此,原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集,此种解法从课本可以看到. 另解:根据积的符号法则,可以将原不等式等价变形为(x2-3x+2)(x2-2x-3)<0 即(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)<0 令(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0 可得零点x=-1或1,或2或3,将数轴分成五部分(如图). 由数轴标根法可得所求不等式解集为: {x|-1<x<1或2<x<3} 说明:(1)让学生注意数轴标根法适用条件; (2)让学生思考 ≤0的等价变形. 例4 解不等式 >1 分析:首先转化成右端为0的分式不等式,然后再等价变形为整式不等式求解. 解:原不等式等价变形为: -1>0 通分整理得: >0 等价变形为:(x2-2x+3)(x2-3x+2)>0 即:(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0 由数轴标根法可得所求不等式解集为: {x|x<-1或1<x<2或x>3} 说明:此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解. 3.课堂练习: 课本P19练习1. 补充:(1) ≥0; (2)x(x-3)(x+1)(x-2)≤0. 课堂小结 通过本节学习,要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上,掌握分式不等式的基本解法,即转化为整式不等式求解. 课后作业 习题6.4 3,4. 板书设计 ●教学后记 探究活动 试一试用所学知识解下列不等式: (1) ; (2) ; (3) . 答案: (1)原式 观察这个不等式组,由于要求 ,同时要求 ,所以①式可以不解. ∴ 原式 如下图 ∴ (2)分析 当 时,不等式两边平方,当 时,在 有意义的前提下恒成立. 原式 (Ⅰ) 或(Ⅱ) 由于同时满足(2)、(3)式,所以(1)式免解. ∴ (Ⅰ)式 (Ⅱ)式 . 综合(Ⅰ)、(Ⅱ),得 . (3)分析 当 时,不等式两边平方,当 时,原式解集为 . 原式 观察不等式组,设有可以免解的不等式. 原式 如下图 ∴
2.进一步熟悉并掌握数轴标根法;
3.掌握分式不等式基本解法.
难点是分式不等式向整式不等式的转化
-
中职数学教案不等式_数学教案-不等式的证明(三)详细阅读
教学目标 1.掌握分析法证明不等式; 2.理解分析法实质——执果索因; 3.提高证明不等式证法灵活性 教学重点 分析法教学难点 分析法实质的理解教学方法 启发引导式教学活动 (一)导入 新课 (教师活动)教师提出问题,待学生回答和思考后点评. (学生活动)回答和思考教师提出的问题. [问...
-
地理研究性课题|研究性课题与实习作业 :线性规划的实际应用详细阅读
教学目标 (1)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念; (2)了解线性规化问题的图解法; (3)培养学生搜集、分析和整理信息的能力,在活动中学会沟通与合作,培养探索研究的能力和所学知识解决实际问题的能力; (4)引发学生学习和使用数学知识...
-
小学数学教案课题_数学教案-研究性课题与实习作业 :线性规划的实际应用详细阅读
教学目标 (1)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念; (2)了解线性规化问题的图解法; (3)培养学生搜集、分析和整理信息的能力,在活动中学会沟通与合作,培养探索研究的能力和所学知识解决实际问题的能力; (4)引发学生学习和使用数学知...
-
不等式的性质高中_不等式的性质2详细阅读
第二课时教学目标 1.理解同向不等式,异向不等式概念; 2.掌握并会证明定理1,2,3; 3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据,定理3是移项法则的依据; 4.初步理解证明不等式的逻辑推理方法 教学重点:定理1,2,3的证明的证明思路和推导过程教学难点 :理解证明不等式的逻辑推理方法教学...
-
中班数学教案认识椭圆_数学教案-椭圆及其标准方程1详细阅读
教学目标 1.掌握椭圆的定义,掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程; 2.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程; 3.通过对椭圆概念的引入教学,培养学生的观察能力和探索能力; 4.通过椭圆的标准方程的推导,使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,并渗透数形结合和等价转化...
-
【简单的线性规划教案】简单的线性规划(二)详细阅读
线性规划教学设计方案(二)教学目标 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域,能用此来求目标函数的最值.重点难点 理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点. 如何扰实际问题转化为线性规划问题,并给出解答是教学难点.教学步骤【新课引入】 我们知道,二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面...
-
[直线的方程有几种]直线的方程详细阅读
教学目标 (1)掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式,并能根据条件熟练地求出. (2)理解直线方程几种形式之间的内在联系,能在整体上把握. (3)掌握直线方程各种形式之间的互化. (4)通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的...
-
【圆的方程】圆的方程详细阅读
教学目标 (1)掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程,也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径. (2)掌握圆的一般方程,了解圆的一般方程的结构特征,熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化. (3)了解参数方程的概念,理解圆的参数方程,能够进行圆的普通方程与参数方程...
-
算术平均数和几何平均数的不等式_算术平均数与几何平均数(二)详细阅读
第一课时一、教材分析 (一)教材所处的地位和作用 “算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第二册(上)“不等式”一章的内容,是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究.本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点,所以本节内容是培养学生应用...
-
[两条直线的位置关系]两条直线的位置关系详细阅读
教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件,能够根据直线的方程判断. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念,掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的...