【圆的标准方程】圆的标准方程

【jiaoan.jxxyjl.com--高二数学教案】

　　（1）知识目标：

　　1、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；

　　2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程；

　　3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题.

　　（2）能力目标：

　　1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；

　　2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；

　　3、增强学生用数学的意识.

　　（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

　　2、教学重点、难点

　　（1）教学重点：　圆的标准方程的求法及其应用.

　　（2）教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

　　3、教学过程

　　（一）创设情境（启迪思维）

　　问题一：

　　已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

　　[引导]：画图建系

　　[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）

　　解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径ab所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16（y≥0）

　　将x＝2.7代入，得　

　　即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。

　　（二）深入探究（获得新知）

　　问题二：

　　1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？

答：x2＋y2＝r2

2、如果圆心在，半径为时又如何呢？

　　[学生活动]：探究圆的方程。

　　[教师预设]：方法一：坐标法

　　如图，设m（x,y）是圆上任意一点，根据定义点m到圆心c的距离等于r,所以圆c就是集合p={m||mc|=r}

　　由两点间的距离公式，点m适合的条件可表示为      ①

　　把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2

方法二：图形变换法

方法三：向量平移法

　　（三）应用举例（巩固提高）

　　i．直接应用（内化新知）

　　问题三：1、写出下列各圆的方程（课本p77练习1）

（1）圆心在原点，半径为3；

（2）圆心在，半径为

（3）经过点，圆心在点

2、根据圆的方程写出圆心和半径

（1）  （2）

　　ii．灵活应用（提升能力）

　　问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程.

　　[教师引导]由问题三知：圆心与半径可以确定圆.

2、求过点，圆心在直线上且与轴相切的圆的方程.

　　[教师引导]应用待定系数法寻找圆心和半径.

3、已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程.

　　[学生活动]探究方法

　　[教师预设] [多媒体课件演示]

方法一：待定系数法（利用几何关系求斜率—垂直）

方法二：待定系数法（利用代数关系求斜率—联立方程）          

方法三：轨迹法（利用勾股定理列关系式）             

方法四：轨迹法（利用向量垂直列关系式）

4、你能归纳出具有一般性的结论吗？

已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：

　　iii．实际应用（回归自然）

　　问题五：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度ab=20m，拱高op=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）。12

　　[多媒体课件演示创设实际问题情境]

　　（四）反馈训练（形成方法）

　　问题六：1、求以c（－1，－5）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程.

2、已知点a（－4，－5），b（6，－1），求以ab为直径的圆的方程.

3、求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程.

4、求圆x2＋y2＝13过点p（-2，3）的切线方程.

5、已知圆的方程为，求过点的切线方程.

　　（五）小结反思（拓展引申）

　　1、课堂小结：

　　（1）知识性小结：

①圆心为c(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为：

当圆心在原点时，圆的标准方程为：

②已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：

　　（2）方法性小结：

①求圆的方程的方法：i.找出圆心和半径；ii.待定系数法

②求解应用问题的一般方法

　　2、分层作业：（a）巩固型作业：课本p81-82：（习题7.6）1、2、4

（b）思维拓展型作业：

试推导过圆上一点的切线方程.

　　3、激发新疑：

　　问题七：1、把圆的标准方程展开后是什么形式？

2、方程：的曲线是什么图形？

设计说明

圆是学生比较熟悉的曲线.初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点就放在了用解析法研究它的方程和圆的标准方程的一些应用上.首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由潜入深的解决问题,并通过最终在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识.另外，为了培养学生的理性思维，我分别在引例和问题四中，设计了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成.

本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、我的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想，应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时提锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。

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