[建构重要概念的教学设计]抛物线概念建构学习的教学设计

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建构主义强调学习主体的感知，认为数学知识不能从一个人复制到另一个，而是个体在原来已有的知识结构以及经验的基础上，通过学习主体的感知、探索、交流、消化，使之适合自已的数学认知结构，才能实现对知识的理解和掌握。所以教师在课堂教学中是一个指导者、帮助者，而学生才是学习的主体，教师根据学生的认知结构，创设一定的问题情境，让学生通过协作、交流、探索，对知识进行意义建构。本节课的教学设计是在建构主义理论指导下，利用学生对椭圆和双曲线理解和掌握，把静态的曲线动态化，通过教师、学生的会话发现了两种曲线的内在的联系，探索出了抛物线的轨迹，从而达到了抛物线概念的意义建构。

   教学过程：

T：前面我们研究了椭圆和双曲线，不仅知道了两种曲线的第一定义，而且知道了它们的 

    第二定义，请大家回忆一下两种曲线的第二定义。

S1：椭圆和双曲线的第二定义是平面上到定点与到定直线的距离比为常数的点的轨迹，当      常数在（0，1）时点的轨迹是椭圆，当常数在（1， ）时点的轨迹是双曲线。

T：很好,这个常数实际上就是曲线的离心率e,我们以椭圆为例，e的不同，椭圆的形状显然也不一样，那么e的变化对曲线究竟产生什么样的影响呢？按照椭圆的第二定义，我们先来看特殊情况。已知直线m与直线l垂直，垂足为H，F是直线m上一定点，如图

    问直线m上到定点F与到定直线l的距离比为 的点在什么位置？

S2：是线段FH的靠近F的三等分点，设为A1

T：很好，在直线m 上还有没有这样的点？

S2：还有一个，设为A2，并且满足FH=A2F.

评注：把抽象的问题具体化，使学生能在已有的知识上，对知识进行重新梳理，也是学生对已学知识的再建构。

T：直线外当然也有，这时平面内的点的轨迹为椭圆，请大家思考，当e 0时和e 1

时，点A1，A2的位置如何变化？

S3：当e 0时，点A1逐渐向点F靠近，点A2也向点F靠近，而且点A1，A2即为椭圆的两个顶点，当e 1时，A1，A2逐渐远离点F。

T：非常好，不仅知道了点A1，A2的位置变化情况，而且发现了点A1，A2实际就是椭圆的两个顶点，那么此时对应的椭圆的形状如何变化呢？

S3：当e 0时点A1，A2都向点F靠近，此时对应的椭圆越来越圆，当e 1时，点A1，A2逐渐远离点F，此时对应的椭圆越来越扁。

T：非常好，通过研究特殊点的变化，我们发现了e的变化对椭圆的形状产生了什么样的影响，下面我们把这种变化用几何画板演示给大家看。

通过对已有知识的再认识、再研究，学生对已有知识进一步再理解、再建构，并且会产生新的发现，同时由对特殊点的讨论，过度到一般情况，符合学生的认知规律。

    请大家再思考，A1能否到达线段FH的中点M?

S3：不可能，因为椭圆的离心率e (0,1)。

T：很好！当点A1跑到点M的左边时，比值 的取值范围是什么？

S3： ＞1，对应的曲线不再是椭圆，而是双曲线了！

T：非常好，说明大家对两种曲线的第二定义理解的比较好。现在我们来计算在直线m上

    满足到定点F与到定直线l的距离比为2的点在什么位置？

S4：在线段FH上靠近H的那个三等分点，还有一个在点H的左边，并且满足B2H=FH

T：很好，当然在直线l外满足条件的点也有，这时对应的曲线为双曲线，下面请大家来研    究、探索e的变化对双曲线的形状产生怎样的影响？

  （有了对椭圆的研究，学生可以通过相互帮助、协作、交流很容易解决的变化对双曲线 

    的形状产生的影响）

S4：当e 1时，B1逐渐靠近点M，B2逐渐向左趋向于无穷远，双曲线的张口越来越小； 

   当e 时，点B1、B2都向点H逐渐靠近，此时对应的双曲线的张口越来越大。

T：非常好，对于椭圆的形状大家用扁和圆来形容，而对于双曲线大家用张口大小来描述，请问大家这两种曲线各有什么样的特征？

S4：双曲线有渐近线，而椭圆没有。

S4：椭圆在直线的一边，而双曲线有两支。

S4：椭圆是封闭的，双曲线是张开的。

T：很好，大家对两种曲线有了较为深刻的理解。下面利用几何画板把这种变化过程演示给大家看

   在线段HF上的两个点A1、B1，大家发现它们都不可能移动到点M，为什么？

S5：因为椭圆的离心率e （0，1），双曲线的离心率 e （1， ），而点M满足 =1

T：显然点M非常特殊，不可能在某一个椭圆或者双曲线上，那么直线上还有没有满足到定点 F与到定直线L的距离的比为1的点的呢？，直线L外还有没有？

S5：直线L上没有了，而直线外还有无数个点。12

T：这些点的轨迹显然也是一条曲线，这条曲线应该是一条新的曲线，我们给它起个名称，  叫抛物线。下面我们来给抛物线下一个定义

S5：平面内到定点与到定直线的距离比为1的点的轨迹叫做抛物线，定直线叫抛物线的准线，定点叫抛物线的焦点。

T：按照抛物线的定义，请大家思考如何作出抛物线的图象？

      ……

教学设计回顾

1、通过演示，使静态图形动态化，抽象的概念具体化，形象化，给学生留下深刻印象，加 

   强了学生对概念的感性认识，对学生理解掌握概念起到了有效的指导作用。

2、认识概念要讲究方法，要把概念放在数学理论体系中去认识，这对学生了解概念之间的    联系，弄清概念体系发展的来胧去脉十分有益，而且这样做对学生从整体上掌握概念是非常必要的。

3、把三种曲线联系起来，找到它们的内在联系，有利于学生对知识整体的把握，深化和提高使学生在头脑中形成一种完整的认识结构，达到对认知结构的主动建构的同时提高学生的数学素质。

                                        王森林

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