海底两万里第十六章简介|第十六章“分式”简介

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　　一、教科书内容和课程学习目标

　　（一）教科书内容

　　本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。

　　全章共包括三节：

　　16．1  分式

　　16．2  分式的运算

　　16．3  分式方程

　　其中，16．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。

　　分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。

　　借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。

　　（二）本章知识结构框图

　　（三）课程学习目标

　　本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点：

　　1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。

　　2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。

　　3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。

　　4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。

　　5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。

　　（四）课时安排

　　本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：

　　16．1  分式                                                2课时

　　16．2  分式的运算                                          6课时1234

　　16．3  分式方程                                            3课时

　　数学活动

　　小结                                                        2课时

　　二、本章的编写特点

　　（一）反映分式和分式方程等概念的实际背景，体现数学概念来自实际、服务于实际

　　本章在引出分式的概念之前，安排了“思考”如何用式子表示实际问题中的数量关系；在讨论分式的乘除和加减的过程中，前后安排了涉及容积、工作效率、耕作面积、工程进度、增长率等多个实际问题；在讨论分式方程时，更注意结合分析、解决实际问题逐步深入。可以看出，本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活。这样编写的目的主要是反映两重意思：

　　1．客观世界中有大量的问题需要用数学进行研究，许多数学概念正是在客观实际的需求中产生的；

　　2．掌握数学知识和方法后，可以能动地运用它们分析和解决大量的实际问题。

　　上述两方面是符合辩证唯物主义关于理论与实际的关系的观点的，在本套教科书的其他部分也有这样的反映。

　　人们接受正确的哲学观点需要经历不断加深认识的过程，结合学习的不同阶段渗透辩证唯物主义和历史唯物主义，帮助学生逐步形成正确的世界观和方法论，是数学教育的任务之一。本套教科书力求体现的一个特点，就是使它成为反映科学发展和文化进步的一面镜子，使学生通过这面镜子的照射更清楚地认识数学的本来面目、更清楚地认识世界。

　　本章中安排大量实际问题，也是为更好地体现本套教科书非常重视的一点，即通过分析与解决实际问题，提高学生联系实际地应用数学知识的意识、兴趣和能力，更好地培养他们的创新精神。

　　（二）通过类比分数，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式

　　人们认识事物往往经历“从具体到抽象，从特殊到一般”的过程，本章教科书对几个内容的安排正是按照这样的过程展现的。

　　分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系。分数等表示具体的数值，或者说每个分数表示两个特殊的整数的除法；分式则具有一般的、抽象的意义，例如表示的是一般的倒数，表示的是任意两个数的除法（）。分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则，是从分数的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则中经过再抽象而产生的。在学习本章之前，学生已经对分数有较多的了解，因此本章教科书的另一个编写特点是：在学生对分数已有认识的基础上，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式。在16．1节讨论分式的基本性质、约分、通分和11．2节讨论分式的四则运算时，教科书通过多次的“观察”“思考”，进行上述类比，温故而知新，完成知识的深化。希望读者能细心体会这样安排的良苦用心，教学中充分发挥知识之间正向迁移的积极作用。1234

　　（三）分析分式方程的特点，明确指出解分式方程的基本思路

　　在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路（使方程逐步化为的形式）已经比较熟悉。分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，随着问题复杂性的增加，人们需要不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的。

　　本章最后的第16．3节“分式方程”，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。教科书注意在这里要体现出解分式方程的基本思路是很自然、很合理地产生的，是在原来已经认识的解方程的基本思路──使方程逐步化为 的形式的想法基础上发展而得到的。这样处理既突出了分式方程解法上的特点及其算理，又反映了分式方程与整式方程在解法上的内在联系。

　　在强调解分式方程必须检验时，考虑到学生的知识基础和接受能力，教科书没有对解分式方程中增根的理论问题进行深入的讨论，而是通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根，然后归纳出检验增根的方法，这样处理是想以典型例子简明地说明检验增根方法的依据。教科书的编者对如何把握这个问题的深度作了认真思考，力求做到既说明做法的合理性，有适可而止，不超越学生的实际水平。

　　在本章小结中，教科书通过本章知识结构图和思考题，再次强调了解分式方程的基本思路以及检验的问题，这又一次反映出编者对分式方程不仅关注使学生会解，而且还重视使学生认识解法后面的道理，即使学生能知其然也知所以然。

　　    三、几个值得关注的问题

　　（一）重视分数与分式的联系，注意通过分数认识分式

　　数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，这样的抽象是一个逐步深入的过程。人们首先从计算具体物体个数的活动中抽象出整数的概念，又从把一个具体物体分为若干份的活动中抽象出分数的概念，这是一种从实物到数的抽象。人们在研究整数和分数的过程中，为了更好地反映一般规律，又抽象出整式和分式的概念，这是一种从数到式的抽象。

　　正如前面所述，分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系，即相对于分式而言分数就是具体的、特殊的基础对象。分式是把具体的分数一般化后的抽象代表，根据这种关系，分式的基本性质、约分与通分、四则运算法则等应该与分数的基本性质、约分与通分、四则运算法则等相对应，即两者具有一致性，这也可以说是数式通性。“从具体到抽象，从特殊到一般”，是人们认识事物往往经历的过程，本章教科书对分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等内容的展开，充分地考虑了这样的认识过程。因此，教学中应重视分数与分式的联系，考虑到学生对分数已有一定认识的基础，要发挥这样的认识基础的作用，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式，这将有助于理解和记忆所学的分式内容。同时，这样的学习过程对于培养良好的学习方法也会起到引导作用。1234

　　（二）重视分式与实际的联系，体现数学建模思想

　　由于分式是在分数基础上再次抽象的产物，所以相对说来就与客观实际的联系而言，分式不如分数更直接。但是，如果我们不仅考虑实际问题中的具体数值，而且考虑其中的运算或对应规律，那么仍然有与分式存在密切联系的实际问题情景。

　　如前所述，本章教科书中从引言开始安排了大量实际问题，一方面要体现与研究分数类似研究分式同样也是实际需要，另一方面也是为通过运用分式为工具分析与解决实际问题，提高学生把实际问题转化为数学形式的能力，即结合本章内容体现数学建模思想，进一步加强学生应用数学知识于实际问题的兴趣和意识，从长远看这将有助于培养学生的创新精神。

　　在本章的教学和学习中，应重视分式与实际的联系，选择一些适合分式内容而又接近学生生活的实际问题，结合这些问题展开分式的内容。要注意避免脱离任何实际问题地讲述分式的内容，虽然这种纯数学的处理方法在数学体系内部并无问题，但是从教学角度看它具有局限性，不适合初中学生接受，也不利于全面地提高学生素质。总之，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出分式来自实际又服务于实际，加强对代数式（包含分式）也是解决现实问题的一种数学模型的认识。

　　对于把实际问题转化为有关代数式的问题，分析和解决它们的关键是找出问题中相关数量之间的运算关系，并把这样的关系 “翻译”为数学形式，而正确地理解问题情境是基础。在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考实际问题，例如借助图象、表格、式子等进行分析，发现其中的数量关系，并检验所建立的式子的合理性。

　　（三）重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤

　　本章所讨论的主要对象是分式，分式方程与分式有直接的关系。如前所述，本章之前，已经出现过整式方程，对于解方程就是使方程逐步化为 的形式这一基本思路，学生已经比较熟悉。与整式方程相比，分式方程的特殊性是其未知数在分母中。正因如此分式方程的解法与整式方程的解法有两个明显的区别：

　　1．一般说，解分式方程时要通过去分母使它先转化为整式方程，也就是使未知数从分母的位置移上来。注意这里的去分母是在方程两边同乘一个含未知数的式子而不是一个非零常数，因此这样的去分母不能保证新方程与原方程同解。

　　2．通过去分母得出的解必须经过检验，当这个解使得分式方程的分母不为零时，它才是分式方程的解。

　　由于解一元一次方程已不是新问题，所以上述两点就成为本章中解分式的关键步骤。

　　在本章的教学和学习中，应重视分析分式方程的特殊性，并根据它认识解分式方程的基本思路（先化分式方程为整式方程，再解出未知数，再检验确认），明白这样做的道理，再次体会化归思想在解方程时的指导作用。如果抓住分式方程的特殊性，那么就能感到解分式方程的基本思路是非常很自然、合理的，而不会去死记硬背解法步骤了。这也就是说，抓住分式方程的特殊性就能突出解分式方程的关键步骤及其算理，在已有的对解方程的认识的基础上再认识分式方程的解法。

　　此外，需要强调：本章的主要内容包括分式的基本概念、基本性质、基本运算，分式方程的基本解法等，这些都是进一步学习数学时必须具备的基础知识，打好基础很重要，因此教学中应注意通过必要的练习使学生切实掌握它们。

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