近似数和有效数字的概念_《近似数和有效数字》案例 与反思

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背景介绍
    本节教材是实施新的课程改革后初一老教材新教法的一堂课。选用这节课的原因是因为过去我曾选用这节课作为教学公开课，取得了相当的成功，当时的授课方式为普通的启发式教学。本堂课是由我所上的一堂平常课，所采用的上课方式是分组讨论式。希望通过这节课同过去的课进行比较。考虑到本堂课的情况，未安排学生进行预习。
情景描述
    像往常一样，经过精心的准备，我走进了教室：“同学们，今天上课之前先请同学们做一些简单的数据统计，要求完成以下内容：分组统计：（1）班上男女生人数；
    　　　　　（2）全年级人数；　　　　
                        （3）同学们用的数学课本的厚度；　　　　　
                        （4）中国人口数量；
　　　    　　（5）圆周率。
    要求每个小组迅速地分工、合作完成上述内容，并进行简单的记录。
话音刚落，同学们迅速地进行工作，不一会儿就结束了。我注意到有个别同学把自己放在旁观者的位置。“完成了？哪组先说？”立刻有学生站了起来：“我们班上男生有24人，女生20人；全年级人数约有380人；同学们用的数学课本的厚度为1厘米；中国人口数量约为12亿；圆周率约为3.14。”“大家认为他说得是否正确？”“我认为他说得基本正确，但全年级有379人，圆周率在3.1415926~3.1415927之间。”……每组均发表了各自的结论，各组结论基本相同。
“大家说得都很好。有需要提出的问题吗？”“那为什么会有不同呢？”“问题提得很好，谁来解答？”“我想，可能是计算的问题，或是测量的问题。”
“非常好，我们在某些情况下可以得到一些精确的、与事实完全相符的数，我们称之为准确数；但在某些情况下得到一些与事实不完全相符但比较接近实际的数，我们称之为近似数。谁能说出上述数中哪些是近似数哪些是准确数。为什么？”
“我们班上男生有24人，女生20人是准确数；全年级人数约有380人是近似数；全年级有379人是准确数；同学们用的数学课本的厚度为1厘米是近似数；中国人口数量约为12亿是近似数；圆周率约为3.14是近似数。”
“很好。谁能说出一些日常生活中常见的近似数和准确数的例子？”
“教室有44张桌子，44张椅子，4扇窗户，这些是准确数。”
“我的身高是1.61米，今年12岁，这些是近似数。”“我们学校有1000多人，这是近似数。”
“我们学校有1000多人，与实际相差太远，这不是近似数。”
“初一（5）班约有40人，教室大概有10盏灯为近似数？”
“大家都发表了自己的看法，很好。主要的问题是：怎样才算作近似数？”
我给出了近似数的意义：我们说与实际有偏差但比较接近实际的数，我们称之为近似数。即用四舍五入的方法得到的数称之为近似数。比方说，我们年级有379人。我们可以说：我们年级约有380人；也可以说：我们年级约有400人。
“那我所说的我们学校有1000多人，是不是近似数？”……
同学们产生了一些争论，其中也提到了常见的说法如：实岁年龄12岁，虚岁14岁等。我发表了自己的观点：无论是近似数还是准确数，它首先是一个具体的数。诸如1000多、不到1000等，均不能称之为近似数。像初一（5）班约有40人，教室大概有10盏灯，混淆了数学中近似数与生活中近似数的概念。也就是说数学中所说的近似数与实际生活中的一些习惯说法是不相同的，请大家注意。
同学们的表情似乎有些怀疑。我没有停下来。
“用四舍五入的方法得到的数，就有近似程度问题。比方说：π＝3.1415926…π取整数，则π≈3，精确到个位π取一位小数，则π≈3.1，精确到十分位π取两位小数则π≈3.14，精确到百分位……
问题：“1.8和1.80的近似程度一样吗？为什么？”
“一样，因为1.80后面的0可以省略。”
“不一样，因为1.8精确到十分位，1.80精确到百分位，如1.83四舍五入为1.8,1.803四舍五入为1.80。”“谁知道什么样的数四舍五入为1.8，什么样的数四舍五入为1.80吗？”“应该是1.75到1.85四舍五入为1.8,1.795到1.805四舍五入为1.80。”
同学们的掌声响起来了。
“很好，用‘<’号连接为1.75≤1.8<1.85,1.795≤1.80<1.805。这说明它们的精确度是不一样的。1.80的精确度更高。”
下面我又介绍有效数字的概念：一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。例：
1.8有          ?个有效数字，各为　　　　。　　
1.80有　　　个有效数字，各为　　　　。　　
1.800有　　　个有效数字，各为　　　　。　　
1.080有　　　个有效数字，各为　　　　。　　
0.008有　　　个有效数字，各为　　　　。 12
学生的作答非常好。于是大家一起分组探讨了有关近似数和有效数字的问题。学生的讨论非常热烈，反映看似相当的不错。
“老师，我们组对2.40万、1.2×104这两个近似数，各精确到哪一位，各有几个有效数字，有不同的意见。一种意见认为2.40万精确到百分位，有三个有效数字；1.2×104精确到十分位，有两个有效数字。另一种意见认为2.40万精确到百位，有三个有效数字；1.2×104精确到千位，有两个有效数字。”
“其他组的观点呢？”
同学们七嘴八舌，各自发表了自己不同的看法，争论的焦点为这两例的精确度问题。
“好，大家都发表了自己的看法，这很好。我们知道通过四舍五入的方法得到的数称之为近似数，即四舍五入到哪一位，我们就说精确到哪一位。这一点，大家同意吗？”
“同意。”
“刚才两例的主要问题是后面带有单位，2.40万中最末一个有效数字为0实际落到百位上，应是精确到百位，若是2.40则精确到百分位；同样1.2×104中的最末一个有效数字2实际落在千位上，应是精确到千位。明白吗？”
“明白了。”
我有些不放心，又举了一个例：
“把30542取近似值，要求保留三个有效数字。”心想，一定有不少人会说等于305，说不定又可以笑一笑了。
“等于305，”果不其然，刚想笑，“是不可能的，应为3.05万或3.05×104。”岂有此理，吊我胃口。没办法，谁让我把他们给惯坏了。不过，看来这回他们是真的清楚了。
随后我进行一些课堂的训练并布置课后作业。
教学设想
        1、案例概要
本案例是一堂老教材新教法的课例。我首先在设计上不同于过去的讲解式、问答式教学，而是充分利用学生参与学习与探讨的热情，让学生充分发表意见，通过对问题的争论与探讨，得出正确的结论。这有利于学生的学习与记忆。在课的开始，设计一些问题，进行小组讨论，再针对相差问题展开。考虑到学生年龄特点，有针对性地对近似数的概念、近似程度（尤其是科学记数法和带单位的情况）进行了讨论和解答，取得了较好的效果，但也存在一些问题待后解决。
        2、案例教学的注意事项
（1）本堂课教学目标：
①在具体情境中，认识近似数和准确数。
②通过对具体问题中近似数近似程度的分析，了解有效数字的意义。
③能根据要求求近似值。
（2）重点：
①根据要求取近似值。
②知道近似数中有效数字的个数。
（3）难点：
形如：a×10n中精确度的问题。
3、教学建议
采用小组讨论的形式，以学生自主探究与合作，教师组织、引导的方式进行，并配以适当的练习加以巩固。
4、建议讨论的问题
（1）如何在新的课程实验中上好传统型的教学课程。
（2）在学生自主探究、合作学习的过程中，如何调动每个学生的积极性，使他们都能参与到探究活动中去。
（3）如何在学生探究活动中，使每个人各有所获，都得到发展，减小差距。
教学反思、研究
1、反思与回顾
（1）为什么使用近似数的原因、使用近似数的意义没有在课例中讲述清楚。
（2）学生对形如2.40万、3.05×104的近似程度的理解及有效数字的计算仍然存在一定的问题。
（3）课中一些好的做法仍值得借鉴。如何更好地贯彻新的课改精神，真正地让学生参与到自主探索的学习中去，是今后教学的首要问题。
（4）如何在小组讨论中让每一个学生都积极动起来，都得到一定的提高，而不是一个旁观、旁听者，也是今后教学中值得注意的问题。
2、学生访谈
问：你今天这节课的主要内容都学了什么？都明白了吗？有什么问题吗？
学生甲：今天这节课主要讲了近似数和有效数字。大部分明白，还有一些比如说：2.0×104精确到哪一位，有几个有效数字？2030保留两个有效数字约等于多少？有些糊涂。
问：您们对这种上课方式有什么看法？
学生乙：我觉得这样的上课方式比较好，我们有足够的时间进行讨论，发表自己的不同见解，学的东西记忆深刻。
3、作业问题
学生作业中的主要问题有：
（1）60215保留3个有效数字为602；
（2）47155精确到百位为472；
（3）230.0千精确到十分位，有两个有效数字为2、3。
4、课后记
这节课与过去所上的同一节课相比较，过去的课是老师牵着学生的鼻子走，引导学生朝某个方向奔。而本堂课的思想也很明确，但方式有所不同，是让学生自己探索、讨论完成这个结果，在自己探索、讨论时可以充分发表自己的意见，明白自己的意见为什么正确或为什么不正确，从而真正理解本堂课的内容。从两次课后情况看，前次课后作业问题较大，尤其时间长一点问题更多；这次问题较少，较集中。存在的问题希望在以后的课中能更好地解决。12

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