【约数和倍数教学视频反思】“约数和倍数”教学实录与反思

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教学内容：苏教版九年义务教育六年制小学数学第十册第39-40页“约数和倍数”。

教学目标：
    1．知识目标：使学生理解整除的意义，理清“除尽”和“整除”的关系；理解和掌握约数和倍数的意义，了解约数和倍数相互依存的关系。
    2．能力目标：能判断一个数能否被另一个数整除，会根据约数和倍数的意义描述两个数之间的关系，培养学生根据信息进行分类、总结、概括的能力，培养学生会进行初步的观察、比较、分析、判断、概括的能力。
    3．情感目标：渗透初步的辩证唯物主义思想教育；并通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，从而树立学好数学的自信心。
    教学重点：理解和掌握整除的意义、约数和倍数的意义。
    教学难点：引导学生探索并理解约数和倍数之间的相互依存的关系。
教学过程：
一、创设情境
1.交流生活中的数学信息
师：（拿着数学课本）问这是一本？
生：数学课本
师：“数学”就是关于“数”的学问，我们的身边有“数”吗？
生：有
师：你能举几个例子吗？
生1：我有7本书。
生2：我有3个好朋友。
生3：我们班里有26名女同学。
……
2．根据信息组成应用题。
师：今天老师也带来了一些数学信息，让我们一起来看一下吧！（课件出示）
            A组                                B组
（1）35张圣诞贺卡                 （8）共用去6.6元     
（2）每本练习本2.2元              （9）平均分给11个同学
（3）有5个同学给灾区捐款          （10）共捐了15.5元
（4）小红每天读2页课外书          （11）已经读了24页     
（5）买了4枝同样的钢笔            （12）共用布15米
（6）小东参加三门考试              （13）共考了273分
（7）做7套同样的校服              （14）小明带32元钱买钢笔
师：请根据你们的生活经验，选择两条相关的信息组成一道简单的应用题，并列式计算。（学生伴随轻音乐读题思考）同桌的同学可以互相说一说。
师：谁来说说看，你先择的是哪两条，求的是什么？怎么列式？
生1：我选（2）和（8）求的是可买多少本？列式为6.6÷2.2=3
生2：我选的是（1）和（9）求的是平均每人得到几张贺卡，列式为35÷11=3……2
生3：……
共得到7道算式，分别是：6.6÷2.2=3     35÷11=3……2      15.5÷5=3.1
24÷2=12    32÷4=8     273÷3=91     15÷7=2……1
[学生的学习材料来源于学生自己，并从学生的已有知识经验出发，找准知识的生长点。这样的学习，可以使学生一开始就处于积极状态，使学生对学习充满着兴趣，学生乐于继续学习下去，而无须教师强迫学生学习。]
二、自主探究
师：请同学们观察以上这些算式，并根据算式的特点分类，分好后小组交流。
（学生自己分好类后小组交流）
师：哪位同学来说说你是怎么分类的？
师：为了方便，老师给它们加上序号。（分别给7道算式加上序号）
①6.6÷2.2=3     ②35÷11=3……2      ③15.5÷5=3.1
④24÷2=12      ⑤32÷4=8            ⑥273÷3=91     ⑦15÷7=2……1
生1：我将②和⑦分为一类，①为一类，③④⑤⑥分为一类，第一类是有余数的，第二类的被除数和除数都是小数，第三类的除数都是整数。
生2：我也将②和⑦分为一类，①③④⑤⑥分为一类。第一类是有余数的，第二类是没有余数的。
生3……
师：从同学们的分类中可以看出：分类的标准不同所得的答案也不同。那我们先选择其中的一种分类来研究。（课件出示）
师：（先择②和⑦分为一类，①③④⑤⑥分为一类）这位同学他是按是不是除尽来分类的，那什么叫除尽？什么又叫除不尽呢？
生：商是有限小数的就是除尽，商是无限小数的就是除不尽。
[学生通过小组讨论、观察、分析、比较和分类，在头脑中建立了小数除法、有余数的整数除法和没有余数的整数除法三种类型的除法的表象。学生的分类，恰当地提供了学生学习新知的素材资源，使学生乐学、会学。]1234
三、归纳特征
师：我们再来仔细观察这些除尽的算式（①6.6÷2.2=3 ③15.5÷5=3.1④24÷2=12      ⑤32÷4=8 ⑥273÷3=91） ，看看这些算式还能不能再分分类，你准备怎么分？
生：①6.6÷2.2=3和 ③15.5÷5=3.1分为一类，因为这里面有小数， ④24÷2=12、 ⑤32÷4=8和 ⑥273÷3=91这三个算式分为一类，因为这三个算式中的被除数、除数和商都是整数，而且没有余数。
师：我们可以将（学生分类后）指着整除的一组算式：象这样被除数、除数和商都是整除而且没有余数我们就称它为“整除”（板书“整除”）（课件出示）
师：那我们仔细地观察整除和除尽有什么关系呢？
生：除尽的范围比整除的大。
师：如果我们用一个大圈来表示除尽，那整除就是其中的一个小圈。（课件出示集合图）
师：你还能再举出一些整除的算式吗?
生1：4÷2=2。
生2：30÷5=6
生3：280÷70=4。
……
师：整除的算式实在是太多了(在整除的小圈后加……)那我们能不能用一个含有字母的式子来概括整除算式呢？
生：用a÷b=c（板书）
师：是不是要加个什么条件呢？
生：b≠0（板书），因为b=0，除法就无意义了。
师：如果a、b、c都是整数（板书），且b≠0，那我们就说a能被b整除，或b能整除a。
［教师先从圈中拿去除不尽的除法算式，再将这些能除尽的算式进行分类，揭示出整除的算式。这样以集合圈的形式，渗透整除和除尽的关系。在学生找出了整除算式的特征后，教师请学生再举一些这样的算式，让学生再次感悟和应用整除算式的特征，并体会象这样的算式有无数个。并通过用一个含有字母的算式来抽象概括，既让学生感悟到用字母表示数的简便，又便于学生理解和掌握数的整除的概念。］
师：如15÷3=5，我们就说15能被3整除，或3能整除15。谁来说说这几道的（指着黑板上的几道整除算式）？
生1：24÷2=12我们就说24能被2整除，或2能整除24。
生2：32÷4=8我们就说32能被4整除，或4能整除32。
生3：273÷3=91我们就说273能被3整除，或3能整除273。
师：我们一起看看书P49的练一练1。（课件出示）
生答……
［教师针对内容的特殊性，采用传统的教学方式，直接说明、学生模仿。不容忽视的是，有意义的接受性学习、记忆和模仿还是必要的。在教师揭示了数的整除的概念后，通过让学生跟着老师一起说、请学生说和学生自己任选两个算式说给同桌听，到一起其说等多种方式让学生通过读来区分两种说法的区别，自我感悟。］
四、感悟关系
师：我们已经知道整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而且没有余数，我们就说数a能被数b整除，数b能整除数a。如果满足了这个条件，a和b就有了一种新的关系。请同学们自学课本第39页倒数第二节，看看谁能很快记住它们的关系。
［针对该段内容的特点，教师提出问题，学生带着问题去自学，这样的学习，既体现了学生在课堂教学中的主体地位和作用，又培养了学生独立思考及自学能力。］
生：它们是约数和倍数的关系。（板书课题：约数和倍数）
师：在这些整除算式中，谁是谁的倍数？谁又是谁的约数？
    生1：24÷2=12我们就说24是2的倍数，2是24的约数。
生2：32÷4=8我们就说32是4的倍数，4是32的约数。
生3：273÷3=91我们就说273是3的倍数，3是273的约数。
师：那我们能单独说24是倍数数，2是约数吗？
生：不能，因为约数和倍数是相互依存的关系，谁也离不开谁。
    师：在1.5÷3=0.5中，谁是谁的倍数？谁是谁的约数？为什么？
生：只有在整除的条件下，才能产生约数和倍数，而1.5÷3=0.5不是整除，所以谈不上约数和倍数的关系。
    五、巩固练习
1.下面各组数中，哪一个数是另一个数的倍数？哪一个数是另一个数的约数？
56和7        180和20         64和16        35和105
师：当两个数是整除关系时，就可以说成谁能被谁整除，谁能整除谁，谁是谁的倍数？谁又是谁的约数，我们一起来做练习七第3题。（课件出示）
生练习……
［通过练习，学生不仅理解了约数和倍数的相互依存关系，而且悟出了“在两数整除时，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数”这一规律，起到了事半功倍的效果。］
2．判断下面的说法是否正确。
①8能整除4。…………………………………………（　　）
②因为36÷6＝6，所以36是倍数，6是约数。………（　　）
③5是5的倍数，5又是5的约数。…………………（　　）
④63÷3＝21，3和21都是63的约数。………………（　　）
⑤3.5÷0.5=7,所以3.5是0.5的倍数。………………（　　）
［数的整除这节课涉及许多零碎而复杂的概念，教师通过精心设计的判断题让学生辨析、理清除尽和整除的关系、整除的两种读法、约数和倍数、倍数和几倍等易混淆的概念，使学生明确了一个数是否是另一个数的倍数或约数时，必须是以整除为前提，约数和倍数是相互依存的概念，不能独立存在。此处的设计，在知识的重难点适时点拨，关键处启发，点有所通、导有所悟，突出了教学的重点。并且多次举正、反例，这样步步深入、层层推进，准确地把握了教学关键，最后突破难点。］1234
3．0和1的特殊性
师：老师这儿有一首咏雪的诗，大家想看吗？
生齐说：想。
师：在看诗的时候要考虑这首诗里一共出现了几个数字。
生：好。
师放课件：                         　　　　      咏雪
一片两片三四片，
  五片六片七八片，
  九片十片十一片，
  飞入草丛看不见。
师：这里共有多少个数？
生：11个。
师：哪11个？
生：1、2、3、……11。
师：这11个数字，你们是从哪几句诗中得到的。
一生迫不及待地说：我知道还有一个0，因为“飞入草丛看不见。”表示什么也没有。
师课件出示0~11这个12个数字中你能说出谁能被谁整除，谁能整除谁，谁是谁的倍数？谁又是谁的约数？小组内的几个同学说说看。
生互相说。
生1：12能被6整除，6能整除12，12是6的倍数，6是12的约数。
生2：12也能被4……
生3：12还能被3……
生4：还有2……
生5：还有1……
生6：12还能被12……
师：同学们说了这么多数字跟12有关，那你们能说一句话来概括一下吗？
生7：12能被1、2、3、4、6、12整除，1、2、3、4、6、12能整除12……
师：同学们说得真不错，那谁还能说得比这个更多。
生8：我来，这里的12个数都能被1整除，1能整除这里的12个数，1是这12个数的约数，这12个数都是1的倍数。
师：就这里的12个数能与1有这里的关系吗？
生9：任何数。
生10：我觉得不能是任何数，如果是小数就不能构成整除关系了，我觉得应该是任何整数都能被1整除……
师：说得多好啊。（课件出示：任何整数都能被1整除。）
生11：老师，我发觉0也很特殊，这里的12个数都是0的约数，也可以说成0是任何整数的倍数。
生12：0就不能是0的倍数，因为0÷0就无意义了，所以我觉得就这句话应该将0除外。
生11：我同意他的说法。
师：补充得好。（课件出示：0是任何不是0的整数的倍数）
师：为了方便，我们在研究约数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数。
师：想不到一首咏雪的诗里还蕴藏着这么多的数学知识，让我们非常有感情地再把这首诗朗读一下。
（学生有感情地朗读，甚至有的同学已经背上了。）
[这里教者安排了一首咏雪的诗，并通过这首诗中的１２个数字让学生自主选择，复习巩固数的整除和倍数、约数的概念，同时再次强调了数的整除的条件和判断约数、倍数的前提。并通过通过合作交流，相互启迪、补充，不但复习巩固了所学的知识，而且通过探索发现一些特殊的规律性结论，激发了学生的学习兴趣，启迪了学生的思维。并渗透了语文和数学学科的整合。最后大部分学生都能背上这首小诗了。］
六、全课总结
师：今天这节课我们一起学习了“约数和倍数”，你有哪些收获？把你的收获跟你的同桌说一说。
生……
七、游戏结课
师：同学们的收获还真不小，为了奖励同学们，下面我们一起来做个游戏，好吗？
生齐喊：好！
师：那就请你们听清要求，游戏的名字叫“动脑筋离课堂”。课前老师已经发给每一个同学带有学号的小卡片，老师出一个数，说一句话，如果你符合条件，就请带着你的书本到台前来，其他同学验收合格，你就可以离开课堂。听明白了吗？
生：明白了。
师：好，我出6，我的约数请过来。
1、2、3号学生很快站到前面来了。
师：他们对吗？
生：对。
师：6的约数还有了吗？
生：还有6号，因为一个数既是它本身的约数，也是它本身的倍数。
师：6号过来，你明白了吗？
生6号：明白了。
师：好，那你们4个出去吧。
师：下面的同学听好了，我现在出9。
这时9号同学已经跑过来。
师惊奇地：我还没说呢？你怎么就跑过来啦？
生9：不管你说什么？都有我，所以我就过来了。
（学生发出一阵掌声）
师：9能整除哪些数？
生18、27、36号学生都过来啦。
师：对吗？
生：对。
师：请出去吧。
生13：老师，什么时候该我们出去啊？
师：那就请你们剩下的同学想一想，老师出哪一个数字，说哪一句话？
生：0，0的约数请出去。
生：老师说过我们在研究约数和倍数时一般是指除0以外的自然数。
师：那我该出几呢？
生：1，1的倍数请出去。
师：好吧，那我就出1，1的倍数请出去吧。
全体同学齐站起来走出教室。
［临近下课，学生易于疲劳，注意力也易涣散，安排此游戏在于提高学生的学习兴趣，又加深对所学知识的理解。通过这种游戏，充分调动学生学习的积极性，让学生再次感知、巩固所学概念，又让学生主动运用所学知识来解决问题，并体验数学知识应用的广泛性。］

教学反思：
参与是个体投身认识与实践活动的过程和基本形式。学生主体参与教学是其在教学中主体地位最基本的表现形式，因而具有非常重要的价值。新课程的核心理念是以学生发展为本，让学生参与教学是课程实施的核心。参与的根本目的是解决学生会学习的问题，也就是会自主学习。因此，积极参与和有效参与二者就缺一不可。“约数和倍数”就是在这种理念指导下的有效尝试。
（一）、积极参与是学生自主学习的前提。
从情感上愿意学习就是积极学习，积极学习的情绪状态下学习效果最佳。因此积极参与是学生自主学习的前提。本节课从以下三个方面可以看出学生的参与是积极的：1234
1、情绪饱满，积极学习。本节课自始自终贯彻以学生为主体的教育理念，从开头的列举生活中的数学信息、看信息列算式、到算式分类，学生充分发表自己的观点；再到后面的练习，“练说倍数和约数”、“判断”、“咏雪”、到“动脑筋离课堂”就更热闹了，学生每人都想自己说。学生在课堂上表现出的状态是：抢着说、纷纷地说、热烈地交流，这些充分说明了学生具有浓厚的学习兴趣与高昂的学习热情。
2、频繁交往。扩大参与。素质教育强调面向全体，要求学生积极参与、全员参与，这就要求教者要为学生提供更广阔的交往空间，这种交往应该是多向式、交互式的，既有师生的交往，又有生生的交往。在本节课中，多次采用合作学习，学生都是人人参与，个个动脑、动口又动手。这些生生之间的交往，既为学生交往提供了广阔的空间，又能满足学生的求知欲，发挥学生的主观能动性，还能提高学生的智力活动水平。
（二）、有效参与是自主学习的保证。
新课程的培养目标是培养会学习的人。只有学会怎样去学，也就是会自主学习才能适应终身教育，而有效参与恰恰是思维的参与，思维的真正参与就能开发智力，培养创新能力。因此，有效参与是学生自主学习的保证。在本节课中有效参与表现为：
1、思维活跃。这是学生真正参与教学的关键所在。在本节课中，学生对除法算式的分类必须独立思考，约数和倍数的概念必须自己看书自学，“动脑筋离课堂”也不是随便乱猜就可以离开课堂，要考虑哪些数是符合要求的才能猜出，知识的构建图要理顺新旧知识的关系才能完成。一句话，没有思考就不会有真正的收获。
2、独立学习时间多。独立学习的时间就是学生自由支配的时间。自由支配的时间是学生主体参与的必要条件，也是个性发展的必要条件。本节课的课堂教学中，教师努力把自由支配的时间还给学生，让每一个学生有更多的独立思考时间。
3、表现机会充分。表现是社会人发展的途径。小学生在校学习的过程实际上是个体社会化的过程，而表现则是一个人实现社会化的台阶。在本节课的课堂上，从对除法算式进行各种各样的分类引入整除开始，教师是处处放手，真正做到学生会说的教师不讲，学生有能力探究的教师不教，学生能够升华的教师不去总结，课堂变成了学生舒展灵性的空间。尤其在对待学生学习结果的处理上，“总结”这一大环节教师没有去做，而是给学生一种极好的自我反思的机会。
 综观整堂课，尽管内容枯燥抽象，而且内容较少，我力求：教师灌输得不多，而师生的启发对话多，学生之间合作交流多，学生自主学习多，教师只是一个组织者、引导着和参与者，努力让学生真正成为学习的主人，不仅积极参与每一个教学环节，切身去感受学习数学的快乐，品尝了成功的喜悦，而且尽量使不同的学生得到不同的发展，满足学生求知、参与、成功、交流和自尊的需要。

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