数学教学是数学思维活动的教学|数学教学中启迪思维的几种方法

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课堂教学是学校进行教学活动的基本形式，是向学生传授知识，培养能力的主要场所。因此，如何精心设计每一堂课，上好每一堂课，提高每一堂课的教学效果，是每个教育工作者都十分关注的问题。
怎样才算上好了一堂课？怎样的课才能产生一种吸引学生的魅力？主要看是否以教师为主导，是否把学生放在主体的地位。我的体会是，在课堂上教师能引发问题，启迪思维，使学生从被动听的状态中转化成主动地探索，并能在自己积极思维的过程中，不断地获取知识，增长才干，这样才算是一堂成功的教学课，这样的课才能产生引人入胜的魅力。
要达到这个要求，教师在课堂上要采取哪些方法？
一、 施布疑阵，启发思维
南宋朱熹说：“读书无疑者须教有疑，有疑者都要无疑。”意即教师在教学中要善于提出问题，施布疑阵，引发思维。然后引导学生解除疑虑，这样才能增长才干。因为“疑”是深入学习的起点，有疑才有问，才有究，才有思，才能产生一种求知的欲望。有经验的教师总是善于根据教材的重点、难点和学生的实际水平，由浅入深，由表及里，由感性到理性，在教学过程中，巧妙地设置一系列疑阵。然后在教师的启迪下，释疑解惑，由具体到抽象，形成完整的概念，开始学生感到要费一些力气，而后感到一身轻松，这就是课堂教学的魅力所在。
我在上练习课时，让学生做一道这样的代数题：已知方程
2χ2+kχ-2k+1=0的两实根平方和为29/4，那么k的值为多少？结果不少学生答案是3或-11，也有的答案是3，我抓住时机，将答案是3和-11的解答板书如下：
由韦达定理可得：
χ1+χ2=- k  (1)
χ1χ2=      (2)
由（1）、（2）可得  k2+8k-33=0
          解之得  k=3或k=-11
初看，“步步合理”，但这答案是错误的。为了使学生辨明真伪，我分别将3和-11代入方程，发现当k =-11时，判别Δ<0，方程无实根，这说明k等于3和-11的结果是错误的。但到底错在哪里？又使学生产生了第二个疑团，这也是至关重要的问题。在这种渴求知识的心理状态下，学生注意力高度集中，思维很活跃。在教师引导下，学生很快地发现这个问题必须在Δ≥0的前提下，才有意义。上面解法的错误就在于没有把Δ≥0当成一个限制条件。教师使学生生疑解疑的整个过程，就是学生形成抽象思维的过程，也是学生从感性向理性认识过渡的过程。
又如我在教勾股定理之后，为了克服学生思维定势的消极影响，施布了一系列疑阵：
师：ΔABC的两边a=3，b=4，求c。（疑阵之一）
生：c=5（学生就出现失误）。教师指出题中未肯定ΔABC是直角三角形。（学生恍然大悟）
师：如增加直角三角形ABC这个条件，c是多少？（疑阵之二）
生：c=5（学生又一次失误）因为题中未说∠C=90°，不能自搞一个潜在假设，学生又一次得到教训。
师：、a、b、c是直角三角形三边，a=3，b=4，求c（疑阵之三）这次学生慎重其事。
生：如果∠C=90°，则c=5
如果∠B=90°  则c=       =
师：完整吗？（疑阵之四）
生：不完整，还有∠A=90°的情形。学生（再次失误，因为a<b，∠A<∠B，所以∠A不可能等于直角。）
教师施布疑阵，学生多次失误，学生思维过关夺隘，进行了一次很好的训练，课堂气氛既紧张又活跃。学生从产生疑虑到解决疑团，整个思维就是一个心理过程，都必须通过分析、综合在头脑中获得客观现实的本质和它的规律性的反映。
二、激发兴趣，启发思维
  兴趣是一种特殊的意识倾向，是动机产生的重要的主要原因。兴趣具有追求探索的倾向，是从事创造性活动的重要条件。浓厚的学习兴趣能激发思维，提高探索的自觉性，所以说“兴趣是最好的老师”。在教学过程中，教师就应该采取能激发学生兴趣的手段，来引起学生的注意。在数学教学中如何激发学生兴趣呢？
（1） 引起学习的期待
   在教学过程中，如果学生对某种知识产生了急于了解的心情，就会引起对新知识学习的兴趣，产生强烈的求知欲。例如，在学习余弦定理时，首先让学生考虑：一个三角形的两边以及它们的夹角的大小确定，这个三角形的第三边是否确定？再要求学生画出两边分别为3cm，5cm，夹角为60°的三角形的第三边。在学生对以上问题都得到正确的答案后，再提出第三个问题：如果不允许画图，你们能计算出第三边的长度吗？学生在完成了第一、第二两个问题之后，获得成功的满足，激起他们学习兴趣，对第三个问题产生了急欲解决的心情。但是他们对第三问题一下子还找不到解决的途径，产生了一种期待的心情。此时教师予以点拔，启发他们应用两点间的距离公式解决，他们的注意力就特别集中。在这一具体问题解决之后，再要求学生去计算两边分别为a和b，夹角为ɑ的三角形的第三边的长度，由此就可以引导学生导出余弦定理。
（2）给予成功的满足
   在学习过程中，学生如果获得成功，就会产生愉快的情绪。如果这种情况反复多次，学习和愉快的情绪就会建立起联系，产生对学习的兴趣。因此，在教学中教师应尽量创造条件让学生在学习过程获得成功的满足，体会到智力活动
的愉快。例如，在学习勾股
定理时，教师可事先要求每 123
位同学用硬纸板做成四个全
等的直角三角形，再做一个
边长等于以上直角三角形两
直角边之差的正方形。讲课
时，先要求每位同学用自己做的四个直角三角形和一个正方形拼合成一个正方形。在学生完成拼图工作之后，教师再启发学生回答以下几个问题：①拼成的大正方形的边长等于什么？它的面积与四个全等的直角三角形和一个正方形的面积之间有什么关系？②如果设直角三角形的勾、股、弦的长分别为a、b、c，你能用数学式子将上述的面积之间的关系表示出来吗？（c2＝4× ab＋（b－a）2）③若将上面得到的等式的右边的式子展开、合并、会得到什么结果？（c2＝a2＋b2）④式子c2＝a2＋b2揭示了直角三角形边边之间具有什么关系？当学生用拼图的方法得到勾股定理之后，就体验到成功的满足，兴趣也由此而产生。
（3）保持刺激的新颖和变化
   刺激的新颖和变化能引起学生的好奇心和新鲜感。在教学过程中，如果经常保持刺激的新颖和变化，就能激起学生的学习兴趣。
   在数学教学中，选用新颖的教具，采取形象生动的语言，采用鲜明的对比，改变叙述的形式，进行一题多变等，都有利于刺激的新颖和变化的保持。初二几何中，授完几种特殊四边形的概念、性质、判定和三角形中位线定理后，有一道例题，求证：顺次连接四边形的四条边的中点，所得的四边形是平行四
边形。如果教师能够抓住机会，改
变例题中的条件，给予新颖的内容，
启发学生的思维，就会激起学习的
兴趣。如上例中改变题设条件中的
“四变形”分别为“平行四边形、
矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形”，那么结论又怎样呢？这样学生就会领悟到探求知识的乐趣，从而激发学习数学的兴趣。
  总之，在课堂教学中能有效地激发学生兴趣是课堂教学成功的关键。托尔斯泰指出：“成功的教学不是强制，而是激发学生的兴趣”。数学教师必须采取能刺激学生兴趣的各种手段，唤起他们学习更多新知识的欲望。特别是对那些还没有养成积极思维习惯，怕动脑筋的学生，教师就更加要注意激发他们的兴趣，引起他们积极参与学习活动。
三、多方联想，广开思路
在数学教学中，要善于因势利导地鼓励学生从多方面、多层次地进行联想，以发展学生发散性思维能力。课堂上经常讨论、归纳某一知识、方法，使之较系统、较全面地掌握其全貌，深刻认识其间的内在联系与区别，在应用时就能居高临下，得心应手。例如，二次三项式aχ2+bχ+c(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac，在数学中有较重要的地位。让学生整理归纳，它常用于：判定二次方程aχ2+bχ+c=0有两个不等的实根、相等的实根、没有实根；判定抛物线y=aχ2+bχ+c与χ轴的位置关系，有一个、两个交点或没有交点；判定二次不等式aχ2+ bχ+c >0（或<0）解的情况；判定二次三项式aχ2+bχ+c的值恒为正或恒为负的条件,等等。这样不断地总结某些知识在多方面中的应用，可训练学生从事物的不同方面去联想问题。
课堂上进行“一题多解”属于发散性思维的范畴，教师如果善于选题，善于启发，学生必然情绪  然，使课堂教学产生一种吸引人的魅力。
例如，证明三点A(-2、2)、B(1、3),C(4、-6)在同一直线上。
教师可以从各个角度引导学生去探索它的证明“
（1） 看看|AC|是否等于|AB|＋|BC|；
（2） 由AC建立的直线方程，B是否在它的上面；
（3） 证明AB，BC的斜率相等；
（4） 求证直线AB、BC的夹角是否为零；
（5） 过ABC任两点建立的直线方程，另一点到这条直线的距离是否为零；
（6） △ABC的面积是否为零。
  只要教师鼓励学生深入观察，大胆进行纵横联想，一题多解，能够打破学生思维领域的僵局进行发散性思维，提高思维的灵活性。四、以简驭繁，类比思维
在数学教学中，当引入某些新概念或研究某些新课题时，我们常常利用某些比较简单或已经掌握的知识与它有本质属性相同的情形，进行类比，可以引发学生思维，使我们迅速深入到新课题的各个领域中去。
例如，高一年级学习立体几何有关概念、性质、定理时，可以用平面几何知识进行类比，把多维问题进行降维化，把繁杂问题简单化，这些都属于类比思维。运用这种方法教学，往往可使一些学生对百思不解的问题，瞬时步入豁然开朗的境界，不仅使学生得到训练，而且常常能促进创造性思维的发展。
以简驭繁是解题、证题的一个重要策略，也是教师在教学中分析问题、启迪思维的好方法。
如在讲抽屉原则时，先讲“把4个球放在三个抽屉里，一定有个抽屉里方2个球”。反之又说：“从三个都有球的抽屉里取出4个球，一定要在一个抽屉里取出2个球”这样一个最简单的道理。然后逐步引导学生学习一般的“抽屉原则”，确是和明显地达到了以简驭繁启迪思维的目的。
又如在讲计算：                      这个较为复杂一些的根式计算题时。我先讲了这样一个类似而又较为简单一些的问题： 123
计算：
解这个题的简单方法是令                    两边平方即可求出结果。学生受到启示后也会猜测令                          ，然后两边立方，由公式(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)可得：40+6(                                             )= χ3
χ3-6χ-40=0
解得：χ=4       即                                    =4  
由此教师不仅能从纵向进行类比，还常常进行横向类比。如讲二项式定理求展开式时与杨辉三角形对比，讲立体切割时与数列类比，讲四面体重心时与三角形重心类比。总之无论是进行同态，同构还是同一法则的类比，都能启迪思维，打开解题的思路。
五、开辟新路，以奇激思
在数学教学中，思维定势表现为思维的一种倾向性，即总是按照老习惯，老办法，老思路考虑问题。当这种习惯思路与实际问题的解题途径一致时，就可以促进正迁移，使问题得到迅速解决；当这种习惯思路与实际问题解题途径相悖或不完全一致时，往往形成负迁移。这时容易导致解题错误，或使学生思路困于某种固定的框框内，持久不能解说。教师在这个关键时刻，要启示一条全新的思维路子，使学生产生一种好奇心，好奇心也是产生行为的动机在心理方面内在的原因。它是中学生学习动机的一种重要的表现形式。在课堂教学中，教师能开辟新路，可以促使学生产生探究事物的一种“内驱力”，这就是我们说以奇激思的心理根据。
例如，求证方程（χ-a）(x-a-b)=1有两个不等实根，其中一个根大于a，另一个根小于a。
习惯的解法是：将原方程化为一般式，根据根的判别式必为正值，再用求根公式说明两根符合题目所求。教师在学生解题后，提出一种简捷的新颖解法：
设y=χ-a原方程化为：y(y-b)=1
即y2-by-1=0     ∵ Δ=b2+4>0
∴方程有两个不等实根，设方程y2-by-1=0两根y1，y2  则y1y2=-1两根异号，从而得到χ1>a，χ2<a。
课堂教学的魅力在哪里？一句话，就是引发问题，启迪思维。教师在教学中能启迪学生达到怎样一个深度，就能吸引学生产生一种相应的魅力。<a。课堂教学的魅力在哪里？一句话，就是引发问题，启迪思维。教师在教学中能启迪学生达到怎样一个深度，就能吸引学生产生一种相应的魅力。123

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