【太阳与行星间的引力公式推导】《太阳与行星间的引力》

【jiaoan.jxxyjl.com--高一物理教案】

　　● 教学环节

　　1．发现问题；

　　2．确定引力存在；

　　3．探究太阳对行星引力大小；

　　4．探究行星对太阳引力大小；

　　5．探究行星与太阳之间的引力大小；

　　6．总结，

　　● 教学的难点

　　一是如何通过师生互动帮助学生用已有知识自主探究出三种引力的大小，让学生心服口服地接受得出的结论，感受到结论的得出是一种思维的必然，而不是偶然；让学生充分体会逻辑推理的重要作用，享受逻辑推理之美。二是在学生自主探究过程中如何在适当的时候适当介绍前人（当然主要是牛顿）在当时的观点和思维过程，让学生充分体会科学研究的方法，感受伟人们深邃的洞察力，超前的意识，学习大家的研究风范。

　　● 关于发现问题环节的教学建议

　　采用复习开普勒定律后提问的方法：是什么原因导致行星绕太阳做如此和谐且有规律的运动呢？这是一种被广泛采用的引入新课的方法，他符合人们的思维习惯，知其然而问其所以然是人类一种本能，因此建议采用此法引入新课。另外为了增加感性认识，也可以播放行星椭圆运动的动画。

　　● 关于确定引力存在环节的教学建议

　　教师让学生猜想是什么原因，并根据自己已有的知识和经验初步说出理由。由于天体之间存在引力基本上已经成为一种大众化的常识，因此学生基本上都可以回答出是引力，甚至说出是万有引力，因此重点不在这个结果上，而在学生能否说出他的根据，而且是有严密逻辑顺序的根据。经过若干个学生的发言、补充后，教师组织学生理出逻辑顺序：椭圆运动（至少速度变方向）→变速运动→加速度（由牛顿第二定律）→合外力→引力（这个逻辑顺序可以由投影出示）

　　教师评价：大家之所以能顺利地确定引力存在是由于我们所处的时代，是由于上一章我们学过的圆周运动的知识，你知道几百年前科学刚刚萌芽发展的时代科学家们（不是一般民众）怎样回答的这个问题吗？

　　教师简单介绍开普勒、笛卡儿、胡克、哈雷、牛顿等人的观点，其中开普勒认为是太阳发出的磁力；笛卡儿认为是流质涡旋带动；胡克、哈雷认为是太阳引力，甚至证明了如果行星轨道是圆形的，引力大小跟轨道半径的平方成反比（但对于椭圆轨道他们无法证明）；牛顿支持胡克、哈雷的观点，而且对椭圆轨道也做了严格的证明。（有条件可以做成一个短片播放，流质涡旋带动可以以一个水的漩涡形象替代）

　　教师评价：由于流质涡旋带动符合人们的生活经验，所以当时被广泛接受，甚至牛顿都是在信仰这种学说中长大的，因此牛顿敢于坚持引力说是需要很大的勇气的。当然这种勇气也来自他广泛汲取的别人的成就，包括欧几里得数学，阿基米德静力学，开普勒定律，伽利略运动理论和实验结果，惯性概念，惠更斯的向心力等，来自于他的研究思考成果：后来出版的《自然哲学的数学原理》的初步理论。

　　（介绍这样一个历史背景的目的一是让学生体会现在我们认为很简单的知识，在历史上的发现过程不是一蹴而就的，是经过长时间甚至几代人的努力的，可以说它不是一个人的功绩。二是让学生体会牛顿之伟大来自于其天才，更来自于他广泛吸取别人的成就的勤奋。对学生进行励志教育。如果时间紧迫，此部分内容可略去）1234

　　● 关于探究太阳对行星引力大小环节的教学建议

　　教师先让学生猜一猜这个引力大小跟什么有关？不说根据。

　　学生能猜出距离、二者质量，但很可能也会说出行星周期、线速度、角速度等。教师不做点评，只说我们需要用理论验证。（学生可能知道万有引力，但知道万有引力大小与什么有关的应该很少，因此此处的猜测有意义）

　　教师提问：请用我们学过的知识提供一种验证思路：

　　让学生讨论出：由运动情况（通过运动学公式）→加速度（通过牛顿第二定律）→受力情况

　　（以上可以投影出）

　　教师介绍：在牛顿所处时代，行星的运动情况观测资料已经相当丰富，因此得出行星受到的引力的表达式是可能的，但是运动轨迹椭圆难倒了胡克、哈雷等，也使牛顿困惑了许多年，直到他用自己发明的微积分解决了问题（历史上是否如此呢？缺乏考证）。我们不会微积分，因此我们研究不了椭圆，但是多数行星的轨道十分接近圆，因此我们现在就通过圆轨道用刚才的思路导出太阳对行星引力的表达式，验证我们的猜测，同时再现牛顿当时的思维过程。

　　教师提问：行星轨道按圆处理，开普勒定律怎样表述？

　　（投影出答案）

　　提问：若已知某行星匀速圆周运动轨道半径为r，线速度为v，质量为m行，则它需要的向心力多大？

　　f需向=m行

　　引导：天文观测能直接得到行星的线速度吗？能直接观测出什么？怎样变化刚才的公式？

　　将代入得f需向=

　　引导：这是行星需要的向心力，我们要求的是太阳对行星的引力，这两个力有关系吗？

　　f太阳对行星=f需向=

　　引导：从上一章我们就知道，需要的向心力和提供的力是不一定相等的，否则也就不会有离心运动、向心运动了，因此太阳对行星的引力大小应该与行星的周期是无关的，仅与两个星球本身情况有关，即以上得到的仅是太阳对行星的引力计算式，而不是决定式（正象密度的计算式一样），（或举例：光滑水平面上用轻弹簧拴住一个质量为m的小球做匀速圆周运动，轨道半径为r，周期为t，则，这只是用周期t来计算拉力f，因为恰好需要的向心力等于拉力，但实际上拉力f仅由劲度系数k和伸长量x有关，跟作圆周运动的物体的运动学量无关。）为找到引力的决定式，我们必须将周期t去掉？怎么办呢？

　　引导：由开普勒第三定律得，代入得f太阳对行星=

　　再共同分析出公式中除了m行、r2以外，其余都是常量，对任何行星都相同，这才是只跟距离以及天体本身有关的表达式，即太阳对行星引力的决定式。

　　总结上式的物理意义，并给出简化式：f太阳对行星

　　（可将以上关键步骤列出投影出示）

　　● 关于探究行星对太阳引力大小环节的建议：

　　教师提出问题：刚才我们猜测到太阳对行星的引力应该与双方的质量均有关，直觉告诉我们这个猜测是正确的，可是我们得出的结论好像只与行星质量有关，难道我们猜测错了吗？你认为如何？

　　引导学生观察等式f太阳对行星=讨论出结论：公式中的常数k是开普勒第三定律中的常数，此常数是一个与行星无关而与太阳有关的量（一般在讲第一节内容时都要补充说明这个结论），与太阳的什么有关，最可能就是质量，因此说太阳对行星的引力与双方的质量均有关。1234

　　教师提问：那么与太阳质量到底有什么关系呢？怎样研究这一问题呢？

　　引导学生讨论得出研究思路：如果还是研究太阳对行星的引力，只能到上式为止，不可能再有什么突破，何不研究行星对太阳的引力呢？因为太阳对行星的引力和行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，二者同性质且等大。

　　（以上这两个问题的设计目的就是为了由讨论太阳对行星的引力向讨论行星对太阳引力进行过渡，让学生理解这种研究方向的转变是一种思维的必然，同时也让学生体会到牛顿能够转变这种研究方向，其思维技巧多么高超。）

　　教师提问：行星对太阳的引力跟太阳的质量有什么关系呢？

　　引导学生讨论。我认为得出结论的方法有两种：一种是课本上利用施力物与受力物互换的办法得出f行星对太阳。另一种应该利用运动相对性的办法，行星围绕太阳做匀速圆周运动，若以行星为参考系，太阳也在绕行星做匀速圆周运动，即若行星绕太阳转了一周，以行星为参考系，太阳也绕行星转了一周。可以采用以下办法帮助学生理解。

　　图-1到图-5表示蓝色的行星绕红色的太阳旋转半周的几个关键位置，若将图-2到图-5依次重叠在图-1上，重叠时让蓝色的行星位置重合，我们发现红色太阳绕蓝色行星也转了半周。（可以用光学投影片重叠的方法或flash课件）

　　这样按照太阳做匀速圆周运动的事实仿照前面的思路也可以得出f行星对太阳。

　　（我认为这种变换参照系的方法更容易为学生所接受）

　　（可将以上关键步骤列出投影出示）

　　● 关于行星与太阳之间的引力大小环节的建议

　　教师提问：既然太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，二者同性质且等大，那么它们的大小应该是相同的表达式，因此f太阳对行星与f行星对太阳应该能合二为一，你能办到吗？

　　组织讨论得出f太阳与行星之间

　　（学生可能得出r4，组织学生评价是否正确）

　　提问：该式的物理意义，问能否写成等式？

　　f太阳与行星之间

　　g是比例系数，与行星和太阳质量均无关。

　　（可将以上关键步骤列出投影出示）

　　（以上各公式的脚标只是为了强调物理意义，本节课是必需的，以后不是必需的）

　　●关于总结环节的建议

　　（一）将本节课的探究过程的幻灯片最后重新播放一遍，替代总结。

　　内容如下：

　　一、确定引力存在：

　　椭圆运动（速度变方向）→变速运动→加速度（由牛顿第二定律）→合外力→引力

　　二、探究太阳对行星引力大小

　　1、猜想：太阳对行星的引力应该与行星到太阳的距离r有关，还与太阳、行星质量有关。

　　2、根据牛顿第二定律和开普勒一、二定律得：f需向=m行

　　3、v难以观测，但可以观测出行星的周期t，将代入得f需向=。

　　4、根据行星圆周运动的向心力由太阳对行星的引力提供，则f太阳对行星=f需向=。

　　5、太阳对行星的引力应该是与行星运动无关的力，要消去t，由开普勒第三定律得，代入得f太阳对行星=。

　　6、结论：：f太阳对行星。1234

　　三、探究行星对太阳引力的大小

　　由牛顿第三定律得：f行星对太阳

　　四、探究太阳与行星之间的引力大小：

　　（二）点评逻辑思维的严谨与巧妙，提醒学生感悟、学习这种思维。

　　作业：思考都受到太阳提供的引力作用，为什么有的行星轨道是圆，而有的是椭圆呢？

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