[基本不等式的证明乐乐课堂]不等式的证明课堂实录

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一、不等式证明的常用方法和基本不等式 
　　师：前面我们复习了不等式的性质，现在开始复习不等式的证明.下面我们先来看一个问题：
　　[例1]求证：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　如何证明这个不等式呢？我们回忆一下，不等式证明有哪些常用的方法？
　　生：比较法、分析法和综合法.
　　师：什么是比较法？这个不等式能不能用比较法来证明？
　　生：要证明a＞b，只要证明a-b＞0，这就是不等式证明的比较法，这个不等式能用比较法证明.
　　证法一
　　∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2
　　 =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2
　　 =(bc-ad)2≥0
　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　师：用比较法证明不等式的基本步骤有哪些？
　　生：有三步：(1)作差　(2)变形　(3)确定符号
　　师：什么是分析法？这个不等式能不能用分析法来证明？
　　生：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题；如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法就是不等式证明的分析法.这个不等式能用分析法来证明.
　　证法二
　　要证明(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　只要证明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2
　　也就是证明b2c2+a2d2≥2abcd
　　即　　(bc-ad)2≥0
　　∵(bc-ad)2≥0成立
　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立
　　(教师指出应用分析法证明时要注意书写格式)
　　师：什么是综合法？这个不等式能不能用综合法来证明？
　　生：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式，这种方法是不等式证明的综合法，这个不等式能用综合法来证明.
　　证法三
　　∵b2c2+a2d2≥2abcd
　　∴a2c2+b2d2+b2c2+a2d2≥a2c2+2abcd+b2d2
　　即　　(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　师：应用综合法证明的关键是找出作为基础的已经证明过的不等式.这些不等式大都是基本不等式，主要有：
　　a2+b2≥2ab (a、b∈R)
　　 (a、b∈R+)
　　这里要注意：
　　(1)不等式成立的条件，字母的允许值范围；
　　(2)当且仅当a=b时，等号成立.
　　[这里改变了高三复习课先整理知识，然后讲解例题的传统模式，而是先提出问题让学生思考，创设问题情境，激起学生复习的欲望和要求，唤起学生对旧知识的回忆，引起学生的思维.这样可以提高学生复习的积极性.在此基础上，通过教师的启发，让学生自己逐步回忆过去所学的知识，应用它们来分析问题和解决问题，最好引导学生自己归纳、整理旧知识，形成比较系统和完整的知识结构.]
　　二、不等式证明方法的应用
　　[例2]已知a、b、c是不全相等的正数.
　　　　 求证：
　　(先让学生议论，然后由学生起来回答，教师板书.)
　　证明：∵
　　　　　　a、b、c是不全相等的正数
　　　　　　∴①②③中等号不同时成立
　　　　　　∴
　　　　　　即
　　(如果学生按上述步骤进行证明，教师应提出：这样证明有没有问题？让学生通过思考后发现：在证明一开始必须先指出a、b、c∈R+，否则不能确定①、②、③是否成立.)
　　师：在证明不等式时，应注意以下几点：
　　(1)不等式的逆向运用，要证明不等式可以先证明它的逆向不等式.
　　(2)已知条件在不等式证明中的应用.由于a、b、c是三个不全相等的正数，从而得出①、②、③中三个等号不同时成立，于是才能证得原不等式成立.
　　(3)同向不等式相加是用综合法证明不等式的常用手段.
　　[例3]已知a、b、c∈R+，求证：
　　(师生共同进行分析)
　　要证明
　　只要证明
　　也就是证明
　　如何证明这个不等式呢？(让学生议论后回答)
　　生：∵a、b∈R+
　　　　∴
　　　　∴
　　师：这样证明有没有问题？　　生：(回答略)
　　师：在证明中必须注意：
　　
　　
　　这是因为两个同向不等式相乘，必须两个不等式的两边都是正的，才能运用不等式性质得出正确的结论.
　　通过讨论我们可以得出如下结论：
　　(1)在证明不等式时，常常先用分析法思考，然后运用综合法来表达.
　　(2)在不等式证明中常常要综合应用其他的数学知识，如例3中要应用对数函数的增减性来证明.
　　(3)同向不等式相乘也是用综合法证明不等式的常用手段.
　　[复习基本方法除了理解方法本身以外，重点是复习它的应用，关键是掌握运用基本方法的规律以及在运用时应注意的问题.在证明不等式时，常常先用分析法思考，然后用综合法表达，在运用综合法时，同向不等式相加和相乘又是常用的手段，还有不等式的逆向运用问题.在不等式证明的过程中，特别要注意基本不等式和不等式性质运用时所必须具备的条件，所有这些都必须通过复习让学生掌握.这里还运用提出问题、分析问题和解决问题的方式来进行复习，让学生在解决问题的过程中，通过讨论，自己总结规律，掌握方法，提高能力，充分发挥他们的主体作用，提高复习效果.]
　　三、不等式证明方法的灵活应用
　　师：下面请同学们探讨一下例4的解法
　　[例4]已知a、b、c∈R+，求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)≥6abc 12
　　(在学生独立思考和练习的基础上，组织课堂讨论，要求用多种方法证明这个不等式.)
　　证法一：∵a、b、c∈R+
　　　　　　∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)-6abc
　　　　　　 =a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2-6abc

　　　　　　 =ab2+ac2-2abc+bc2+a2b-2abc+a2c+b2c-2abc
　　　　　　 =a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2≥0
　　　　　　∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)≥6abc
　　证法二：∵a、b、c∈R+
　　　　　　∴
　　　　　　则
　　　　　　同理
　　　　　　∴
　　证法三：因为a、b、c∈R+，所以要证明
　　　　　　ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)≥6abc
　　　　　　只要证明
　　　　　　也就是证明
　　　　　　∵a、b、c∈R+
　　　　　　∴，，
　　　　　　∴成立
　　　　　　∴ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)≥6abc成立.
　　师：经过讨论，同学们提供了许多好的解题方法，若还有其他方法的话，请大家课后继续思考和讨论.
　　[高三复习不仅要加强基础，而且要提高能力，特别要提高思维能力，这是提高复习质量的重要关键之一.在进行解题思维训练时，重点是启发学生根据问题的条件和结论所提供的信息，结合已经掌握的知识，探索解决问题的思路和寻找解决问题的方法，对于例4这样一个不等式证明问题，可以从三种常用证法的角度来思考，从而得出几种不同的思维途径.]
　　四、小结
　　五、作业(略)
　　点评：高三复习的目的是使学生进一步系统地掌握基础知识、基本技能和基本方法，进一步提高运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力以及综合运用数学知识灵活地分析和解决问题的能力.因此本课在教学内容的选择上既加强基础，又提高能力和发展智力既全面复习，又突出重点.本课教学首先抓住了三种常用的证明方法和两个基本不等式.此外，还通过典型例题的分析，让学生能熟练地运用各种方法来证明不等式，以提高学生的思维能力和分析问题、解决问题的能力.在教学内容的安排上按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构.12

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