【下学期是几月到几月】下学期 4.2 弧度制
【jiaoan.jxxyjl.com--高一数学教案】
教学目标 :
1.明确引入弧度制的必要性,理解新单位制意义.
2.熟练掌握角度制与弧度制的换算.
教学重点:理解弧度制引入的必要性,掌握定义,能熟练地进行角度制与弧度制的互化.
教学难点 :弧度制定义的理解.
教学用具:投影仪.
教学过程
1.设置情境
在角度制下,当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时,由于运算进率非十进制,总给我们带来不少困难.那么我们能否重新选择角单位,使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢?本节课就来尝试选择这种新单位.
2.探索研究
(1)复习角度制
我们在平面几何中研究角的度量,当时是用度做单位来度量角, 的角是如何定义的?
规定把周角的 作为1度的角.
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制,在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制,它是如何定义呢?
(2)弧度制定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,如图1,弧 的长等于半径 , 所对的圆心角 就是1弧度的角,弧度制的单位符号是 ,读作弧度.
图1
的弧度数 的弧度数
提问:若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数是多少?若弧是一个整圆呢?
因为半圆的弧长 ,其圆心角的弧度数是 ,同理,若弧是一个整圆,其圆心角的弧度数是 .
在 到 的角的弧度数 必然适合不等式 ,角的概念推广后,弧的概念也随之推广,任一正角的弧度数都是一个正数.如果圆心角表示一个负角,且它以所对的弧长 ,则这个圆心角的弧度数是 ,由此我们给出弧度制的定义:一般地,可以得到:正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0;角 的弧度数的绝对值 ,其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长, 是圆的半径,这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制.
提问:为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢?即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢?
如图2,设 为 的角,圆弧 和 的长分别为 和 ,点 和 到点 的距离(即圆半径)分别为 和 ,由初中学过的弧长公式可得: , ,于是 .上式表明,以角 为圆心角所对的弧长与其半径的比值,由 的大小来确定,与所取的半径大小无关,仅与角的大小有关.
因 ,可以得到 ,那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积,这个公式比采用角度制时相应公式 要简单.
(3)角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时,除了零角以外,所得到的量数都是不同的,但它们既然是度量同一个角的结果,二者就可以相互换算.我们已经知识若弧是一个整圆,它的圆心角是周角,其弧度数是 ,而在角度制里它是 ,因此 ,两边除以2.
得 等式两边同除180
得
同理,把弧度换成角度.
【例1】把 化成弧度.
解:∵
∴
【例2】把 化成度.
解:
同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住 弧度这个关键.
下面请大家写出一些特殊角的弧度数.
角度
弧度
按从左至右顺序其答案是:0、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 .今后我们用弧度制表示角的时候,“弧度”二字或“ ”通常省略不写,而只写相应的弧度数.例如:角 就表示 是 的角, 就表示 的角的余弦,即 .
(4)角度制与弧度制的比较
引进弧度制后,我们应将它与角度制进行比较,同学们应明确:①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制是以“度”为单位度量角的制度;②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小,而 是圆的 所对的圆心角(或该弧)的大小;③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
【例3】计算:
(1) ;(2) .
解:(1)∵ ∴
(2)∵
练习(用投影仪)
1.把下列各角化成 的形式:
(1) ;(2) ;
(3) .
2.求右图3中公路弯道处弧 的长 (精确到 ,图中长度单位: ).
参考答案:
1.(1)
(2)
(3)
2.∵
∴
答:弯道处 的长约为 .
3.练习反馈
(1)若三角形的三个内角之比是2:3:4,求其三个内角的弧度数.
(2)已知扇形的周长为 ,面积为 ,求扇形的中心角的弧度数.
(3)下列终边相同的是( ).
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
参考答案:(1) 、 、 ; (2)2 (3)B
4.总结提炼
(1) 弧度;
(2)“角化弧”时,将 乘以 ;“弧化角”时,将 乘以
(3)弧长公式:
扇形面积公式: .(其中 为圆心角 所对的弧长, 为圆心角的弧度数, 为圆半径.)
课时作业
1.角集合 与 之间的关系为( )
A. B. C. D.不确定
2.若角 和 的终边互为反向延长线,则有( )
A. B.
C. D.
3.中心角为 的扇形,它的弧长为 ,则该扇形所在圆的半径为______________.
4.若 ,且 与 的角的终边垂直,则 .
5.已知直径为 的滑轮上有一条长为 的弦, 是此弦的中点,若滑轮以每秒5弧度的角速度旋转,则经过5秒钟后点 转过的弧长等于多少?
6.已知一个扇形周长为 ,当扇形的中心角为多大时,它有最大面积
参考答案:1.C 2.D 3.6; 4. 或 ; 5. ; 6.中心角 时, .
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