正切和余切的关系_正切和余切

【jiaoan.jxxyjl.com--九年级数学教案】

第一课时

一、教学目标 

1．使学生了解正切、余切的概念，能够正确地用 、 表示直角三角形（其中一个锐角为 ）中两边的比，了解 与 成倒数关系，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系。

2．逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。

3．培养学生独立思考、勇于创新的精神。

二、学法引导

1．教学方法：运用类比法指导学生探索研究新知。

2．学生学法：运用类比法主动探索研究新知。

三、重点、难点、疑点及解决办法

1．重点：了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值。

2．难点：了解的概念。

3．疑点：正切与余切概念的混淆．

4．解决办法：通过类比引出概念和性质，再通过大量直接应用，巩固概念和性质。

四、教具准备

投影机、投影片（自制）、三角板

五、教学步骤 

（一）明确目标

1．什么是锐角 的正弦、余弦？（结合下图回答）。

2．填表

3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？

4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？

5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其他一些三角函数，本节课我们学习。

（二）整体感知

正切、余切的概念，也是本间的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要，教材在继第一节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切，像这样，把概论、计算和应用分成两块，每块自与一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识。

（三）教学过程 

1．引入正切、余切概念

①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？

因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是”。

②给出正切、余切概念。

如图，在 中，把 的对边与邻边的比叫做 的正切，记作 。

即   

并把 的邻边与对边的比叫做 的余切，记作 ，

                    即    

2． 与 的关系

请学生观察 与 的表达式，得结论 （或 ， ）这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与 区别开．

3．锐角三角函数

由上图， ， ， ， ，把锐角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的锐角三角函数。

锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目。

问：锐角三角函数能否为负数？

学生回答这个问题很容易。

4．特殊角的三角函数。

①教师出示幻灯片

请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下图）

；

；

；

；

；

．

通过学生计算完成表格的过程，不仅复习巩固了正切、余切概念，而且使学生熟记特殊角的正切值与余切值，同时渗透了数形结合的数学思想。

0°，90°正切值与余切值可引导学生查“表”，学生完全能独立查出。

5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系。

结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

即   ， ．

练习：1）请学生回答 与 的值各是多少？ 与 ？ 与 呢？学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题： 与 有何关系？为什么？ 与 呢？

2）把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：

（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。

6．例题

【例1】求下列各式的值：

（1） ；

（2） ．

解：（1）

   

    ；

（2）

＝2．

练习1．求下列各式的值：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ；

（5） ．

2．填空：

（1）

（2）若 ，则锐角

（3）若 ，则锐角

学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力。

（四）总结扩展

请学生小结：本节课了解了正切、余切的概念及 与 关系．知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系．本课用到了数形结合的数学思想．

结合 及 ，可扩展为 ．

六、布置作业 

1．看教材P12～P14，培养学生看书习惯。

2．教材P16中习题6.2A组2、3、4、5、6．

七、板书设计 

 
第二课时

一、教学目标 

1．巩固正、余切概念，学会用正、余切来解决问题．

2．通过例题教学，培养学生分析问题、解决问题的能力； 通过归纳、概括，培养学生逻辑思维能力。

3．培养学生独立思考、勇于创新的精神及良好的学习习惯。

二、学法引导

1．教学方法：指导探索研究法。

2．学生学法：主动探索研究法。

三、重点、难点、疑点及解决办法

1．重点：用正、余切解直角三角形。

2．难点：灵活运用正切、余切。

3．疑点：学生可能对正切、余切概念掌握不牢，导致出现 之类的错误，教学中应引起重视，使学生熟能生巧。

4．解决办法：通过教师精心引导，学生积极思维，主动研究发现，及练习巩固解决重难点及疑点。

四、教具准备

投影机（或电脑）、自制投影片（或课件）、三角板

五、教学步骤 

（一）明确目标

结合图，说出什么是 的正切、余切？

请班级里较差学生回答，以检测其掌握情况．

2． 与 具有什么关系？

答： （或 或 ）．

3．互为余角的正切值与余切值具有什么关系？

答： ，

3．互为余角的正切值与余切值具有什么关系？

答： ，

4．在0°～90°间，正切、余切值随角度变化而变化的规律是什么？

通过以上四个问题，使学生对新学的知识有了系统的认识，便于应用．

对概念的巩固最好的途径是配备练习题．因此，教师在引导学生复习有关概念后，应出示练习题（投影片）．

1．在 中， 为直角， 、 、 所对的边分别为 。

①若 ， ，则 ， ， ，

②若 ，则

2．比较大小：

①        ②

③        ④

3．计算题：

① ；

② ．

（二）整体感知

本课安排在本小节末，运用本小节的知识去解决一个简单问题，再次为本章第二节解直角三角形做好准备．当然，这个问题只用上一小节学过的正弦、余弦也可以解决，不过那样做，就要先求出斜边 ，解的过程要繁琐一些。

（三）教学过程 

1．讲授新课

【例】在 中， 为直角， 所对的边分别是 ，已知 ， ，求 （保留两位有效数字）．

这个题是本大节知识的综合运用，考查知识点面面俱到，是检查全体学生是否全面达到教学目标 要求有效途径，教学中应引导学生全体参与，积极地探求各种解法，然后加以比较，优选出最佳方法，以培养学生思维的敏捷性、深刻性，形成良好的思维品质。

分析：本题已知 和 ，求 ，观察图不难发现，边 恰好是 的对边与邻邦边，因此求 可选用以下两个关系式：（1） ，（2） ．

请学生比较一下，哪一个关系计算更简便呢？答：若选用 ，由此得 ，用 除以含四位有效数字的数，计算比较麻烦；而选用 ，由此得 ．用 乘以含四位有效数字的数，计算相对方便．

解： ，

∴

解完例题之后，应引导学生小结：本题显示了“除法与乘法在一定条件下可以互相转化”，其中“条件”是 与 互为倒数．认真分析和利用这种转化，有时可使计算简便．

2．巩固练习

本节课实际上是对前面课的综合，通过对前面知识的综合运用，以培养学生的比较、分析、概括等逻辑思维能力．因此例题后应安排练习题如下：

在 中， 为直角， 、 、 所对的边分别为 ．

（1）已知 ， ，求 和 ．

（2）已知 ， ，求 和 ．

（3）已知 ， ，求 ．

（4）已知 ， ，求 ．

（5）已知 ， ，求 ．

（6）已知 ， ，求 和 （保留两位有效数字）．

教法说明：给学生足够的时间，引导学生讨论、研究，筛选出最佳关系式使计算简便，既培养学生计算能力，巩固所学知识，又能培养学生的思维能力．

[参考答案]（1） ， ；（2） ， ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ， ．

3．对学有余力的学生，可引导其读教材P15想一想．使学生对正弦、余弦间的关系，正切、余切间的关系以及弦、切间的关系有所了解，保证知识的完整性，为高中三角函数的学习打下基础．教师板书

．

（四）总结、扩展

引导学生总结：1．要认真分析直角三角形中的各边与角的三角函数关系．2．因为同一个角的可以互相转化，所以在选用关系时昼选择乘法使计算较简便．

六、布置作业 

1．看教材P1～P17，培养学生看书习惯。

2．教材P17习题A组7、8，学有余力的学生可选做B组题。

七、板书设计 

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