2222数字代表什么意思_22.2.2 配方法

【jiaoan.jxxyjl.com--九年级数学教案】

教学内容
    间接即通过变形运用开平方法降次解方程．

    教学目标
    理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
    通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．

    重难点关键
    1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
    2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

    教学过程
    一、复习引入
    （学生活动）请同学们解下列方程
    （1）3x2-1=5   （2）4（x-1）2-9=0   （3）4x2+16x+16=9
    老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=± 或mx+n=± （p≥0）．
    如：4x2+16x+16=（2x+4）2

    二、探索新知
    列出下面二个问题的方程并回答：
    （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
    （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？

    问题1：印度古算中有这样一资骸耙蝗汉镒臃至蕉樱吒咝诵嗽谟蜗罚?八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．
    大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？

    问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？

    老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：x=（ x）2+12
    整理得：x2-64x+768=0
    问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500
    整理，得：x2-36x+70=0
    （1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．
    （2）不能．
    既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
    x2-64x+768=0  移项→ x=2-64x=-768
    两边加（ ）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+10241234567
    左边写成平方形式 → （x-32）2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16 
    解一次方程→x1=48，x2=16
    可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．

    学生活动：

    例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．
    老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=± ，x-18= 或x-18=- ，x1≈34，x2≈2．
    可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．

    例2．解下列关于x的方程
    （1）x2+2x-35=0    （2）2x2-4x-1=0
    分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．
    解：（1）x2-2x=35  x2-2x+12=35+1  （x-1）2=36  x-1=±6
             x-1=6，x-1=-6
             x1=7，x2=-5
    可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．

    （2）x2-2x- =0  x2-2x=
        x2-2x+12= +1   （x-1）2=
        x-1=± 即x-1= ，x-1=-
        x1=1+ ，x2=1-
    可以验证：x1=1+ ，x2=1- 都是方程的根．

    三、应用拓展

    例3．如图，在rt△acb中，∠c=90°，ac=8m，cb=6m，点p、q同时由a，b两点出发分别沿ac、bc方向向点c匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半．

    分析：设x秒后△pcq的面积为rt△abc面积的一半，△pcq也是直角三角形．根据已知列出等式．
    解：设x秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半．
    根据题意，得： （8-x）（6-x）= × ×8×61234567
    整理，得：x2-14x+24=0
   （x-7）2=25即x1=12，x2=2
    x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
    所以2秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半．

    四、归纳小结
    本节课应掌握：
    左边不含有x的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．

    五、作业设计

    一、选择题
    1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（  ）．
      a．（x-2）2+3     b．（x-2）2-3    c．（x+2）2+3     d．（x+2）2-3
    2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（  ）．
      a．x2-8x+（-4）2=31     b．x2-8x+（-4）2=1
      c．x2+8x+42=1           d．x2-4x+4=-11
    3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（  ）．
      a．1       b．-1       c．1或9      d．-1或9

    二、填空题
    1．方程x2+4x-5=0的解是________．
    2．代数式 的值为0，则x的值为________．
    3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．

    三、综合提高题
    1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
    2．如果x2-4x+y2+6y+ +13=0，求（xy）z的值．
    3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

    答案:
    一、1．b  2．b  3．c
    二、1．x1=1，x2=-5  2．2  3．z2+2z-8=0，2，-4
    三、1．（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，∴三角形周长为9（∵x2=1，∴不能构成三角形）
    2．（x-2）2+（y+3）2+ =0，∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）z=（-6）-2=
    3．设每台定价为x，则：（x-2500）（8+ ×4）=5000，x2-5500x+7506250=0，解得x=27501234567

22.2.2 配方法

    教学内容
    给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．

    教学目标
    了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
    通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．

    重难点关键
    1．重点：讲清配方法的解题步骤．
    2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．

    教学过程
    一、复习引入
    （学生活动）解下列方程：
    （1）x2-8x+7=0   （2）x2+4x+1=0
    老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．
    解：
    （1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0   （x-4）2=9        x-4=±3即x1=7，x2=1
    （2）x2+4x=-1  x2+4x+22=-1+22    （x+2）2=3即x+2=±       x1= -2，x2=- -2

    二、探索新知
    像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
    可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．

    例1．解下列方程
    （1）x2+6x+5=0   （2）2x2+6x-2=0   （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
    分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
    解：（1）移项，得：x2+6x=-5
        配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4
        由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5
    （2）移项，得：2x2+6x=-2
        二次项系数化为1，得：x2+3x=-1
        配方x2+3x+（ ）2=-1+（ ）2（x+ ）2=
        由此可得x+ =± ，即x1= - ，x2=- - 1234567
    （3）去括号，整理得：x2+4x-1=0
        移项，得x2+4x=1
        配方，得（x+2）2=5
        x+2=± ，即x1= -2，x2=- -2

    三、应用拓展

    例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
    分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4= （6x+7）+ ，x+1= （6x+7）- ，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．
    解：设6x+7=y
        则3x+4= y+ ，x+1= y-
    依题意，得：y2（ y+ ）（ y- ）=6
    去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72
    y2（y2-1）=72， y4-y2=72
    （y2- ）2=
    y2- =±
    y2=9或y2=-8（舍）
    ∴y=±3
    当y=3时，6x+7=3  6x=-4  x=-
    当y=-3时，6x+7=-3  6x=-10  x=-
    所以，原方程的根为x1=- ，x2=-

    四、归纳小结
    本节课应掌握：
    配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．

    五、作业
    一、选择题
    1．配方法解方程2x2- x-2=0应把它先变形为（  ）．
      a．（x- ）2=     b．（x- ）2=01234567
      c．（x- ）2=     d．（x- ）2=
    2．下列方程中，一定有实数解的是（  ）．
      a．x2+1=0           b．（2x+1）2=0
      c．（2x+1）2+3=0     d．（ x-a）2=a
    3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（  ）．
      a．1     b．2     c．-1      d．-2

    二、填空题
    1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．
    2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
    3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．

    三、综合提高题
    1．用配方法解方程．
    （1）9y2-18y-4=0                        （2）x2+3=2 x
    2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求 的值．
    3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
    ①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
    ②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．

    答案:
    一、1．d  2．b  3．b
    二、1．1，-5  2．正  3．x-y=
    三、1．（1）y2-2y- =0，y2-2y= ，（y-1）2= ，y-1=± ，y1= +1，y2=1-
           （2）x2-2 x=-3  （x- ）2=0，x1=x2=
    2．（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，∴原式= 1234567
    3．（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，x2-30x+200=0，x1=10，x2=20
       （2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250    ∵-2（x-15）2≤0，∴x=15时，赢利最多，y=1250元．答：略

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