高中立体几何常见题型及解题技巧_立体几何新题型的解题技巧

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【命题趋向】
在高考中立体几何命题有如下特点:
1.线面位置关系突出平行和垂直,将侧重于垂直关系.
2.多面体中线面关系论证,空间"角"与"距离"的计算常在解答题中综合出现.
3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题,填空题出现.
4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点.
此类题目分值一般在17---22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题.
【考点透视】
(a)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.
(b)版.
①理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘.
②了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算.
③掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.
④理解直线的方向向量、平面的法向量,向量在平面内的射影等概念.
⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.
⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质,掌握球的表面积、体积公式.
⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图.
空间距离和角是高考考查的重点:特别是以两点间距离,点到平面的距离,两异面直线的距离,直线与平面的距离以及两异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角等作为命题的重点内容,高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查,分为多个小问题,也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题,但也可能在最后一问中设置有难度的问题.
不论是求空间距离还是空间角,都要按照"一作,二证,三算"的步骤来完成,即寓证明于运算之中,正是本专题的一大特色.
求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。
【例题解析】
考点1 点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用.
典型例题
例1(XX年福建卷理)如图,正三棱柱 的所有棱长都为 , 为 中点.
(ⅰ)求证: 平面 ;
(ⅱ)求二面角 的大小;
(ⅲ)求点 到平面 的距离.
考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的
大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维
能力和运算能力.
解答过程:解法一:(ⅰ)取 中点 ,连结 .
为正三角形, .
正三棱柱 中,平面 平面 ,
平面 .
连结 ,在正方形 中, 分别为
的中点, , .
在正方形 中, , 平面 .
(ⅱ)设 与 交于点 ,在平面 中,作 于 ,连结 ,由(ⅰ)得 平面 .
, 为二面角 的平面角.
在 中,由等面积法可求得 ,
又 , .
所以二面角 的大小为 .
(ⅲ) 中, , .
在正三棱柱中, 到平面 的距离为 .
设点 到平面 的距离为 .
由 ,得 ,
.
点 到平面 的距离为 .
解法二:(ⅰ)取 中点 ,连结 .
为正三角形, .
在正三棱柱 中,平面 平面 ,12
平面 .
取 中点 ,以 为原点, , , 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 , , , , ,
, , .
, ,
, .
平面 .
(ⅱ)设平面 的法向量为 .
, . , ,
令 得 为平面 的一个法向量.
由(ⅰ)知 平面 ,
为平面 的法向量.
, .
二面角 的大小为 .
(ⅲ)由(ⅱ), 为平面 法向量,
.
点 到平面 的距离 .
小结:本例中(ⅲ)采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的b点到平面 的距离转化为容易求的点k到平面 的距离的计算方法,这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何作图,显得更简单些,因此可优先考虑使用这一种方法.12

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